Отличные произведения

[Ktina]

Произведения всех ненулевых цифр двух последовательных четырёхзначных натуральных чисел отличаются ровно в $n$ раз.
Найти все возможные целые значения $n$ и доказать, что других нет.

[atlakatl]

Меньшее число оканчивается на $0$. $n=1$
Меньшее число оканчивается на $1$. $n=2$
Меньшие числа, оканчивающиеся на $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$, дают нецелое частное произведений цифр последовательных чисел.
Меньшее число оканчивается на $9$. Вот тут сложнее. $1009, 1109$ дают $n=9$. Дальше думать надо.

[gris]

Что мы можем сделать с набором ненулевых цифр числа при переходе к следующему? Убрать несколько девяток, увеличить одну цифру на единичку, добавить единичку. Если за этим проследить, то получим
$(1010,1011): n=1$
$(1011,1012): n=2$
$(1029,1030): n=6$
$(1089,1090): n=8$
$(1009,1010): n=9$
$(1299,1300): n=54$
$(1899,1900): n=72$
$(1099,1100): n=81$
$(2999,3000): n=486$
$(8999,9000): n=648$

[Ktina]

gris
atlakatl
Спасибо!

(Оффтоп)

По-моему, чисто бухгалтерская задача.

[atlakatl]

Ktina
Да, численка на 9-ку здесь так и просится.
gris более в программировании, опередил.