Доказать, что это поле

[Legonaftik]

Задача:
Пусть $R$ - кольцо, $d \in R$. $R[\sqrt d]$ - множество формальных записей вида $a+b \sqrt d (a, b \in R)$ с естественными операциями:
$(a + b \sqrt d) + (a' + b' \sqrt d) = (a + a') + (b + b')\sqrt d$;
$(a + b \sqrt d) \cdot (a' + b' \sqrt d) = (aa' + dbb') + (ab' + a'b) \sqrt d$.
Тем, что получается кольцо, будем пока пользоваться без доказательства.
Доказать, что $\mathbb{Q} [\sqrt {-1}]$ - поле.


Никогда раньше не занимался подобным. Поэтому не могу понять, с какой стороны здесь вообще подступиться.
Насколько я понимаю, нужно показать, что каждый ненулевой элемент обратим, и продемонстрировать наличие единицы.
Но как это делается?

[Pphantom]

Legonaftik в сообщении #1150268 писал(а):

Никогда раньше не занимался подобным. Поэтому не могу понять, с какой стороны здесь вообще подступиться.

Взять список аксиом поля и показать, что для требуемой структуры они выполняются. Если то, что это кольцо, можно считать доказанным (хотя почему?), то тогда список просто уменьшается. Доказывать проще всего конструктивным образом: найти единицу, предложить способ построения обратного элемента для любого ненулевого.

P.S. Есть еще один "нечестный способ", называть который нехорошо, ибо это почти готовое решение. Но все же... Вам структура, которую требуется исследовать, ничего не напоминает?

[Someone]

Legonaftik в сообщении #1150268 писал(а):

как это делается?

Нужно проверить выполнение всех аксиом поля. Путём непосредственной проверки. Например, существование единицы доказывается путём предъявления некоторого элемента и проверкой того, что он действительно является единицей.

[Legonaftik]

Pphantom в сообщении #1150272 писал(а):

Вам структура, которую требуется исследовать, ничего не напоминает?

Напоминает множество комплексных чисел.

[Pphantom]

Legonaftik в сообщении #1150275 писал(а):

Напоминает множество комплексных чисел.

Правильно. Ни на какие мысли это не наводит?

[Legonaftik]

Хорошо, я доказал, что $\mathbb{Q} [-1]$ является полем. Следующий вопрос заключается в том, при каких $d$ является полем $\mathbb{Q} \sqrt{d}$?

Первая мысль - для любых чисел. Но здравый смысл подсказывает, что это не так. Могли бы вы привести пример значения $d$, при котором не получится поля?

[Pphantom]

А какому множеству может принадлежать $d$?

P.S. Это не только попытка уточнения условия, но и риторический вопрос.

[Legonaftik]

Pphantom в сообщении #1150302 писал(а):

А какому множеству может принадлежать $d$?

P.S. Это не только попытка уточнения условия, но и риторический вопрос.

Множеству вещественных чисел?

[Pphantom]

Legonaftik в сообщении #1150304 писал(а):

Множеству вещественных чисел?

Это уточнение условия или ответ?

[Legonaftik]

Pphantom в сообщении #1150308 писал(а):

Legonaftik в сообщении #1150304 писал(а):

Множеству вещественных чисел?

Это уточнение условия или ответ?

Ответ.

[Pphantom]

Legonaftik в сообщении #1150312 писал(а):

Ответ.

А решение излагать кто будет?

[arseniiv]

Legonaftik
Гляньте хотя бы на $\mathbb Q[\sqrt0]$, например. (Вообще классная штука, используется в автодифференцировании иногда.)