По мотивам IMC 2016

[ProPupil]

Пусть функция $f(x,y)$ непрерывна в замыкании выпуклого множества $G \subset \mathbb R^2$ и имеет частные производные в $G$. Пусть среди точек $(x,y)\in G$, лежащих на прямой $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}$ нету таких точек, что $f(x,y)=\frac{d}{d\vec l}f(x,y)=0$, где $\vec l = \{a,b\}$ - направляющий вектор данной прямой, а вдоль самой прямой функция обращается в ноль в бесконечно многих точках.

Докажите, что хотя бы на одной точке $(x',y')\in \partial G$, лежащих на данной прямой, функция обращается в нуль.

[worm2]

Не понял условие.
Рассмотрим только функцию на заданной прямой, как функцию одного аргумента.
"вдоль самой прямой функция обращается в ноль в бесконечно многих точках"
Возьмём две такие точки. По теореме Ролля между ними существует точка, в которой производная равна 0, что противоречит условию "нету таких точек".

[Slav-27]

worm2
Нету таких точек -- в которых одновременно и функция и её производная ноль.

[worm2]

Понял, спасибо.

[worm2]

Но всё равно не ясно, почему нельзя обойтись одномерным случаем.

Пусть $X$ — предельная точка множества нулей функции (лежащая на нашей прямой). От противного: пусть она лежит во внутренней точке $G$. Возьмём бесконечную последовательность нулей $f$ на прямой, строго приближающуюся к $X$ с какой-то стороны. Между любыми соседними точками этой последовательности будет лежать хотя бы один нуль производной, возьмём по одному такому нулю на каждом интервале и получим бесконечную последовательность нулей производной, неограниченно приближающихся к $X$...

Ага! Кажется, цимес здесь в том, что несмотря на существование частных производных в каждой точке $G$, мы не можем так просто утверждать их непрерывность, а значит, то, что в точке $X$ производная по направлению $\vec l$ будет равна нулю — ещё не факт.

[DeBill]

worm2 в сообщении #1150337 писал(а):

будет лежать хотя бы один нуль производной

И с этим, блин, тоже проблемы...
Однако....

[Dan B-Yallay]

Рассмотрим функцию

$$f(x,y) = \sin x $$

Вдоль оси $Ox$ функция принимает бесконечное число нулей и при этом выполняется требование неравенства нулю одновременно функции и её производной.
И что мне помешет провести границу области $ G$ так, чтобы функция не была нулём в точках пересечения $\partial G$ с осью $Ox$?

[NSKuber]

worm2 в сообщении #1150337 писал(а):

Кажется, цимес здесь в том, что несмотря на существование частных производных в каждой точке $G$, мы не можем так просто утверждать их непрерывность,

Ага, это даже в исходном (одномерном) случае так просто утверждать нельзя.
Dan B-Yallay
В оригинале присутствует отрезок $[0,1]$, так что, думаю, тут тоже стоит добавить ограниченность $G$.

[ProPupil]

Да, ограниченность я упустил. Я предполагал в тексте ограниченность, поскольку у нас были точки на границе области.

[DeBill]

ProPupil
Без какой-либо непрерывности производных ничё не выйдет.
Контрпример:
$f=g+h$
$g(x,y) = x+y$,
$h(x,y) = \frac{2\left\lvert xy \right\rvert ^{\frac{4}{3}}}{x^2+y^2}\cdot \sin (\frac{1}{x})$.
Имеем: $g$ - хорошая, на прямой $x=y$, производная вдоль прямой равна 2.
Для $h$: вне осей - дифференцируема. На осях вне нуля : равна нулю, и предел такой же - как произведение бесконечно малой на ограниченную (непрерывность). Непрерывность в нуле: аналогично, из неравенства о средних: числитель мал по сравнению со знаменателем. Частная дифференцируемость: в нуле обе частных пр-х равны нулю, ибо ф-я на осях - нулевая. В точке $(0,a), a\ne 0$: частная по $y$ равна 0; частная по $x$ тоже нулевая: график зажат между графиками $ y =\pm \operatorname{const} \cdot \left\lvert x\right\rvert ^{\frac{4}{3}}$. В точках $(a,0)$ - аналогично, но проще. На прямой $y=x$, с параметром $x$:
$f= 2x + \left\lvert x\right\rvert ^{\frac{2}{3}}\cdot \sin (\frac{1}{x})$. Из картинки видим до хрена нулей (точек пересечения $y=-2x$, и ужасной синусоиды, и трансверсальность графиков в точках пересечения - что означает ненулевость производной вдоль прямой в нулях $f$).
Итак, в качестве области моно взять малый круг с центром в нуле (с границей, не проходящей через нули $f$ на прямой).

[NSKuber]

DeBill

ProPupil в сообщении #1150235 писал(а):

Пусть среди точек $(x,y)\in G$, лежащих на прямой $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}$ нету таких точек, что $f(x,y)=\frac{d}{d\vec l}f(x,y)=0$

Из вашего описания, в точке $(0;0)$ и функция, и обе частные производные (а, следовательно, и производная по направлению $(1;1)$) равны нулю.

[Slav-27]

NSKuber в сообщении #1150872 писал(а):

а, следовательно

А вот и нет!

-- 13.09.2016, 11:26 --

А если потребовать существования производной по направлению $l$ во всех точках прямой внутри $G$, то задача, по-моему, сводится к 1-мерной, и тогда решается.

[NSKuber]

И правда, поспешил с выводами - её там вообще не существует. Здесь-то и ломается попытка провести доказательство, аналогичное одномерному случаю (из существования частных производных не следует существования производной по направлению).

[DeBill]

NSKuber в сообщении #1150872 писал(а):

в точке $(0;0)$ и функция, и обе частные производные (а, следовательно, и производная по направлению $(1;1)$) равны нулю.

Да нет же:

DeBill в сообщении #1150733 писал(а):

:
$f=g+h$
$g(x,y) = x+y$,

Равны 0 производные $h$, но не искомой $f$...