Доказательства элеметарных утверждений теории множеств

[Legonaftik]

Взялся за самостоятельный разбор "Математического анализа в 57-й школе". Никогда раньше не занимался формальным доказательством утверждений. Поэтому прошу проверить правильность решения.

Задача 1. Доказать, что для любых множеств $A, B, C$

a) $A \subset A$;
б) если $A \subset B$ и $B \subset C$, то $A \subset C$;
в) $A = B$, если и только если $A \subset B$ и $B \subset A$.

Моё решение:
а) Допустим $A \not\subset A$. Это значит, что $\exists a_0: a_0 \in A$ и $a_0 \not\in A$.
Этого не может быть. А значит, исходное допущение неверно.

-- 07.09.2016, 23:37 --

б) Т.к. $A \subset B$, то $\forall a_0 \in A: a_0 \in B$. Т.к. $B \subset C$, то для этого же элемента $a_0$ справедливо: $a_0 \in C$.
Т.о. мы получли, что $\forall a_0 \in A: a_0 \in C$, т.е. $A \subset C$, ч.т.д.

в) Допустим, $A = B$ и $A \not\subset B$. Тогда $\exists a_0 \in A$ и $a_0 \not\in B$. А это уже значит, что $A \neq B$.
Аналогично для случая $B \not\subset A$. Значит, допущение неверно.

[Otta]

Под буковкой (а) будет проще рассуждать, как под (б).

Что касается (в). Какое там приводится определение равенства множеств?

[Xaositect]

Верно.

1 и 3 можно и без метода от противного: $\forall a\in A: a\in A$ верно (тавтология), в третьем просто эквивалентность раскладывается на две импликации.

[Legonaftik]

Otta в сообщении #1149962 писал(а):

Что касается (в). Какое там приводится определение равенства множеств?

Множества $A$ и $B$ называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

[Otta]

Legonaftik в сообщении #1149965 писал(а):

Множества $A$ и $B$ называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

То есть фактически, если элемент каждого множества является и элементом другого. А дальше как Вы делали под (б), от противного - можно, но лишнее, - то есть как Xaositect говорит.

(Оффтоп)

В общем-то, там уже больше и делать нечего. :)