Winding up a tube on a wheel

[dxtx]

Hello,

I winding up a tube on a wheel (like a wheel of a bike). One end of the tube is fixed on the ground, the other is fixed on the wheel.



I calculated the sum of energy for 4 cases:

1) The tube is full with gas under pressure
2) The tube is full with small disks attracted from the red dot
3) The tube is full of not attracted disks and completed of smaller attracted disks
4) The same of 3) but with spheres

It is a theoretical study. I suppose the tube is perfect.

I resumed the device on the image:



A zoom on disks:



I calculated for a small angle the sum of energy for 4 cases:

1) With gas:
from the torque and the force: $ 0.5 \cdot \delta \cdot 1.1-0.5=0.05 \delta$
from the volume: $0.005 \cdot 10 \cdot \delta=0.05 \delta$
The sum is well at 0.

2) Only attracted disks:
from the torque and the force: $0.5 \cdot \delta \cdot 1.1-0.516666=0.03333 \delta$
from the volume: $0.005 \cdot 10 \cdot \delta \cdot 0.666=0.03333 \delta$ , I need to take in account the fact that more disks with pressure at 10 moves out than 0 so I used the calculation of the center of gravity of a square triangle
The sum is well at 0.

3) With attracted disks and not attracted disks:
Force of the inner half circle: $10 \cdot 2=20$
Force of the outer halt circle: $9.07 \cdot 2.2=19.954$
Force on the red dot because I attract blue disks, the double integral: $0.21 \cdot (1-0.907) \cdot 100=1.953$ the coef 0.21 come from the double integration
Attraction: $\int_{1}^{1.1} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} x \cos(y) dydx = 0.21$
Force of each end of tube: $(10+9.07) \cdot 0.1/2=1.907/2$
The difference of energy from forces is $0.9535 \cdot 1.1 \ cdot \delta-1.045 \cdot \delta=0.0385 \delta$ with $\delta$ a small angle of rotation of the wheel
The surface changes at $\delta \cdot (1.1-1)-\delta/2 \cdot (1.1^2-1)=0.005 \delta$
The force at the end of the tube is 0.9535N but the force from 10 is higher than 9.07 so the force is for$ 2/3 \ cdot 10+1/3 \cdot 9.07$ the section so the energy is $0.005 \delta \cdot 9.689=0.04844 \delta$
The sum is not at 0, it 0.048 vs 0.038

4)/ With spheres, attracted spheres and not attracted spheres :
from the torque and the force: $0.87 \cdot 1.1 \cdot \delta-1.0361333 \cdot \delta=0.079 \delta$
from the volume: $0.913 \cdot 0.005 \delta \cdot 10=0.0456 \delta $
The sum is not at 0, it is 0.045 vs 0.079, and the energy from the volume is lower it is the contrary in the case 3)

If you can help me to find my error ?

If you can't understand what I explained in english and if you know french: J'explique en français pour ceux qui comprennent. J'ai calculé la somme de l'énergie lorsqu'on enroule un tube. Je suppose le tube creux. Pas de friction. Pas de gravité. Pas de masse. Le tube est idéalement très fin et je ne compte pas l'énergie qu'il faut pour le tordre car cette énergie ira de toute façon quelque part (chaleur, etc.). Un bout du tube est fixé au sol, l'autre bout est fixé sur la roue. Comme je veux enrouler le tube sur la roue, je dois faire tourner la roue et l'avancer en même temps. Ce qui m'intéresse c'est l'énergie, je regarde donc l'énergie pour avancer la roue, l'énergie pour faire tourner la roue et l'énergie provenant du volume. Le volume du tube est constant mais comme le tube s'enroule, il est évident que le volume est moindre sur la partie courbée, il faut donc faire une excroissance de ce volume pour le garder constant et on récupère donc de l'énergie de cette excroissance.

Pour trouver mon erreur, j'ai étudier plusieurs cas. Et dans tous les cas j'ai bien la somme des forces à 0. Avec un gaz à l'intérieur je trouve bien une somme de l'énergie à 0. Ensuite, j'ai calculé lorsque le tube possède des disques attirées vers le centre. J'utilise de tout petits disques sans friction, si petit que je peux utiliser les forces de pression d'un liquide sous gravité, car les lois sont simples. C'est théorique. J'ai eu besoin de calculer la force d'attraction, c'est pourquoi j'utilise l'intégrale double qui me donne 0.21. Là également je trouve bien la somme de l'énergie à 0. Maintenant, j'utilise des disques non attirées qui vont subir la poussée d'Archimède. Je rempli le tuyau de disques non attirées d'un diamètre théorique de $10µm$ et ensuite comme il reste de la place entre les disques je remplis les interstices avec des disques de $10nm$ (c'est théorique). Là je n'ai plus la somme de l'énergie à 0. La différence est encore pire si j'utilise des sphères et le résultat s'inverse en plus.

Je ne pense pas que ce soit l'intégrale car avec uniquement des disques attirées je trouve bien la somme de l'énergie à 0. Et je ne pense pas non plus que ce soit la méthode sinon je n'aurai pas trouvé la somme à 0 avec le gaz.

Voilà, si vous pouvez m'aider à trouver mon erreur ?

Have a good day