Формула конечных приращений для матричной функции

[1r0pb]

Добрый день!
Вот, например, имеется
$f(x)=\begin{pmatrix} f_{11}(x) & f_{12}(x)\\ f_{21}(x) & f_{22}(x) \end{pmatrix},\ x=(x_1,x_2,...,x_n).$
Вопрос: как можно записать формулу конечных приращений для данной матричной функции?
Там, наверное, какие-нибудь тензоры вылазят... или как-то покоординатно расписывать, а потом собирать воедино...
Спасибо.

[Slav-27]

$||f(x)-f(y)||\leqslant \sup\limits_{\xi \in [x,y]} ||df(\xi)||\,||x-y||$.

См. Шварц "Анализ".

[1r0pb]

Slav-27, спасибо за ответ. Мне нужно равенство...
А если рассматривать $f_{ij}(x)$ как функцию от $n$ переменных?

$$f_{ij}(x)=f_{ij}(x_1,x_2,...,x_n),\ f_{ij}(x+\Delta x)=f_{ij}(x_1+\Delta x_1,x_2+\Delta x_2,...,x_n+\Delta x_n)\ \Rightarrow $$

$$\Rightarrow \ f_{ij}(x+\Delta x)-f_{ij}(x)=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f_{ij}(x+\theta _{ij}\Delta x)}{\partial x_k} \Delta x_k,\ 0<\theta _{ij}<1.$$

[Slav-27]

1r0pb
Какое вам равенство нужно? напишите его для какого-нибудь простого случая, например вещественной функции вещественной переменной.

То что вы написали -- приближённое.

[1r0pb]

Slav-27 в сообщении #1149074 писал(а):

1r0pb
То что вы написали -- приближённое.

Ну для некоторого $0<\theta _{ij}<1$ оно ведь точное?

[Slav-27]

1r0pb
Да, что-то я проглядел. Для некоторого -- (при определённых условиях) точное.

Вам это и надо было?

[1r0pb]

Slav-27 в сообщении #1149087 писал(а):

1r0pb
Да, что-то я проглядел. Для некоторого -- (при определённых условиях) точное.

Вам это и надо было?

Ну я скорее советуюсь как можно в данной ситуации поступить. Но нужно равенство, да.

[Slav-27]

Ещё интеграл можно.

$f(x+\Delta x)-f(x) = \left(\int\limits_0^1 \frac{\partial f}{\partial x}(x+t\Delta x) dt\right) \cdot \Delta x$.

($f$ здесь понимается просто как вектор -- элементы матрицы выписаны подряд в столбец. Пока что тут без разницы.)

[DeBill]

1r0pb в сообщении #1149096 писал(а):

Но нужно равенство, да.

Равенства, воообще говоря, не будет.
Классический пример: $e^{it}$ на отрезке $[0,2\pi]$ ($n=1 $, матрица: два на один).

[1r0pb]

DeBill в сообщении #1149135 писал(а):

1r0pb в сообщении #1149096 писал(а):

Но нужно равенство, да.

Равенства, воообще говоря, не будет.
Классический пример: $e^{it}$ на отрезке $[0,2\pi]$ ($n=1 $, матрица: два на один).

А если вещественная функция?

[DeBill]

1r0pb
Дык я и имел в виду вещественные (вещ. и мнимая часть экспоненты):
$f(t) = (\cos t,\sin t)$. Производная равна $(-\sin t,\cos t)$, и нигде не равна нулю, так что на отрезке $[0,2\pi]$ как раз и не будет равенства.
(А в интегральной форме Slav-27 будет верно, ибо интеграл занулится)
....