x^(x+y)=y^(y-x) Решить в натуральных числах

[loser]

Решите уравнение в натуральных числах:
Х в степени (Х+У) равно У в степени (У-Х).
Подходит Х=У=0 или Х=У=1 (научным методом тыка),
а как еще корни
найти или доказать, что их нет, я не знаю.

[cepesh]

Пользуйтесь тегом MATH

$$x^{x+y}=y^{y-x}$$

[cepesh]

Классный график у функции! =) Ни разу такого не видел!

[student]

[loser]

Я тоже такой график первый раз вижу.
Кстати, как вы его получили?

[cepesh]

loser писал(а):

Я тоже такой график первый раз вижу.
Кстати, как вы его получили?

smartplot в Maple 6

[Anar Yusifov]

to loser

Я попробовал другую замену переменных (т.к. усомнился в вашем результате). Посмотрите что получилось:
Пусть $y=tx$, тогда, после небольших приобразований, получим ответ:
$x=t^{\frac {t-1} 2}$
$y=t^{\frac {t+1} 2}$.
возьмём теперь любое нечётное $t=2k-1$ и получим ответ в натуральных числах. Кроме того если взять $t=r^2$ то получим ещё решения. Других наверное нет.

С Уважением, Анар.

[AndAll]

loser писал(а):
Решите уравнение в натуральных числах:
[x^(x+y)=y^(y-x)]

Очевидно [y=x^t]
т.е. имеем систему [y=x^t, (x+y)/(y-x)=t]

Решая второе уравнение, при t=1 получаем тривиальное решение x=0, y=0
При t=2 находим, что x=3, y=9

При t = 3, 4, ... данное уравнение решений в натуральных числах не имеет
(попробуйте доказать сами)

[Аурелиано Буэндиа]

cepesh писал(а):

Классный график у функции! =) Ни разу такого не видел!

Это в плоскости xy? А можно точнее команду указать? Если не сложно.

[Anar Yusifov]

to AndAll

Нет ну это неслыхано! В моём решении уже при $t=5$ получаем решения в целых числах $x=25; y=125$. В вашем же случае решеня получаются при дробных $t=\frac 3 2$. Это касается и остальных решений.

Надо бы пропускать свои мысли через фильтр прежде чем вводить в заблуждение остальных.

С уважением, Анар.

[cepesh]

Аурелиано Буэндиа

smartplot(x^(x+y)=y^(y-x));

[AndAll]

Anar Yusifov писал(а):

to AndAll

Нет ну это неслыхано! В моём решении уже при $t=5$ получаем решения в целых числах $x=25; y=125$. В вашем же случае решеня получаются при дробных $t=\frac 3 2$. Это касается и остальных решений.

Надо бы пропускать свои мысли через фильтр прежде чем вводить в заблуждение остальных.

С уважением, Анар.

Уважаемый Анар
Признаю, был не прав, поторопился, не проверил и вообще это не решение, так, неудачная проба пера. Первый раз на форуме. За все это сильно извиняюсь.

Предлагаю Вам (и всем) другое, полное решение, основанное на той же идее.

Решить уравнение в натуральных числах: x ^ (x +y) = y ^ (y-x)

Так как очевидно, что x и y некоторые степени одного и того же числа, сделаем подстановки:
x=p^s, y=p^t. После некоторых преобразований получим следующее соотношение:

p^(t-s)=(t+s)/(t-s)

Придавая независимым параметрам s и t различные произвольные значения, получим все вещественные решения данного уравнения, в том числе и в натуральных числах. Любая пара этих параметров однозначно определяет число p. Кроме того, для существования решения
(не натурального) эти параметры не обязаны быть целыми и положительными. Более того, предполагаю, что можно найти такие s и t, которые дадут мнимые решения.
Кстати, в первом, признаю, абсолютно сыром решении параметр t не обязан был быть целым.

Я вполне сознаю, что задача так не стояла, так что не корите за избыточность решения, просто исследовательский зуд и некоторое количество свободного времени.

Существуют критерии для нахождения именно натуральных решений. Они следующие:
для t-s =1 все решения выражены в натуральных числах;
для t-s =2 существующие решения выражены в натуральных числах, если t+s=2k^2;
для t-s =3 существующие решения выражены в натуральных числах, если t+s=3k^3, и.т.д.

Если все это верно, то наименьшее из потерянных Вами решений таково: x=3^39, y=3^42.
Если я ошибаюсь, то заранее прошу прощения.

С уважением, AndAll.

P. S. Уважаемый Анар. В будущем, пожалуйста, обходитесь без восклицаний.
P.P.S. Кто-нибудь, если не затруднит, как пользоваться тегами?

[незваный гость]

Рискну порекомендовать Вашему вниманию объяснение. Оно скрыто под фразой "Пишешь формулу? Используй тег [math]! Теперь размеры формул можно менять." в заголовке каждой страницы.

[AndAll]

незванный гость писал(а):

Рискну порекомендовать Вашему вниманию объяснение. Оно скрыто под фразой "Пишешь формулу? Используй тег [math]! Теперь размеры формул можно менять." в заголовке каждой страницы.

Большое спасибо за подсказку, Незванный гость, Вы как нельзя кстати.
Я со своей стороны рискну воспользоваться ею. Может даже что-то получится.

[Anar Yusifov]

to AndAll

Признаю что был излишне импульсивным... Возможно именно это и послужило причиной вашего очередного заблуждения... На самом деле наши решения эквивалентны, т.к. выходят из самых общих предположений... Ниодно решение я не мог упустить! (последний раз восклицаю )... Пусть Т - это моё t. Тогда используя ваши обозначения получим что T=p^{t-s}=\frac {t+s} {t-s}.

С Уважением, Анар.

P.S. Мне кажеться, что моё решение более интерестное, т.к. даёт представление о решении в параметрическом виде более наглядно. Мало того ваше решение тоже притендует на это, но как мне кажеться, оно выглядит не так красиво. Впрочем о вкусах не спорят.