Замена ковариантной производной на Ли

[user14284]

Извините за тупой вопрос, но вот есть у нас кривая $\gamma$ на римановом многообразии, являющаяся интегральной кривой векторного поля $X$, ковариантная производная

$$\nabla_X=\left.\frac d{dt}\right|_{t=0} {\tau_t^\gamma}$$

где $\tau_t^\gamma$ -- параллельный перенос вдоль $\gamma$ за время $t$. Вопрос: можно ли по крайней мере локально для данной $\nabla_X$ найти такое векторное поле $Y$, создающее фазовый поток $\phi$, чтобы производная Ли

$$L_Y=\left.\frac d{dt}\right|_{t=0} {\phi_t^*}=\nabla_X~?$$

И наоборот.

[пианист]

Между направлением переноса и связностью д.б. соотношение, типа ковариантного постоянства.

[user14284]

Что такое ковариантное постоянство?

[svv]

Кстати. Вы не указывали (и это хорошо), равенства производных от каких объектов Вы требуете. Стало быть, не исключали скалярных функций. Но из требования
$\nabla_X f = \mathcal L_Y f$ для любой (гладкой) скалярной функции $f$
сразу следует $X f = Y f$ для любой $f$, откуда $X=Y$.

Это необходимое условие. Оно не является достаточным (дальнейшие требования в сообщении пианист), но не упомянуть о нём я не мог.

[пианист]

user14284 в сообщении #1149432 писал(а):

Что такое ковариантное постоянство?

Равенство нулю ковариантной производной.
$\xi^i_{,j}=0$
Только один нюанс: связность в последней формуле не та, о которой шла речь в Вашем посте, а получаемая перестановкой нижних индексов в символе Кристоффеля (не знаю, есть ли какое-то название у такой операции).
svv
Да, конечно. Мне как-то даже в голову не пришло, что ОП мог иметь в виду разные поля.

[user14284]

svv в сообщении #1149444 писал(а):

Вы не указывали (и это хорошо), равенства производных от каких объектов Вы требуете.

Произвольных тензорных полей