2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Незнакомое мне матричное уравнение
Сообщение03.09.2016, 12:58 
Здравствуйте, уважаемые участники форума!

У меня есть такое матричное уравнение:
$$\bar{e} X A = \bar{e} A^T X .$$
В нем $\bar{e}$ — это вектор-строка размера $1 \times n$, который состоит из единиц; $X$ — диагональная матрица размера $n \times n$; $A$ — квадратная матрица того же размера. Известно, что матрица $A$ обратима, и что первый элемент матрицы $X$ равен единице: $x_{1\,1} = 1.$

Я хочу узнать формулу для нахождения всех ненулевых элементов диагональной матрицы $X.$ Но мои собственные попытки решения сводятся к преобразованиям $$\bar{e} X = \bar{e} A^T X A^{-1} $$ и $$\bar{e} X A X^{-1} = \bar{e} A^T,$$ которые ничего не дают.

Можно ли явно выразить матрицу $X$ через матрицы $A, \; A^T, \; A^{-1}$?

Математикой я занимаюсь как хобби, время от времени и бессистемно. Познания в математике фрагментарные и неглубокие. Подобных уравнений раньше не встречал. Подозреваю, что тут что-то очень простое, но самостоятельно ответить на свой вопрос не могу. Буду рад любой помощи.

 
 
 
 Re: Незнакомое мне матричное уравнение
Сообщение03.09.2016, 13:33 
Аватара пользователя
Обычный первый совет в таких случаях: начните разбирать конкретные примеры с малыми $n$, начиная с $n=2$ и, возможно, наткнётесь на закономерность и всё станет ясно. Вы пока займитесь этим, а потом сюда подойдут настоящие математики, скажут вам, что я наговорил фигни и дадут вам настоящее решение ;-) Но вы пока займитесь, они ж ещё не пришли.

 
 
 
 Re: Незнакомое мне матричное уравнение
Сообщение03.09.2016, 16:33 
Aritaborian, cледуя Вашему совету, рассмотрел случай с $n = 2.$ Он прост: $x_{22} = {a_{12}}/{a_{21}}$. А вот какая система уравнений получается при $n=3$:
$$
\begin{cases}
x_{11}a_{11} + x_{22}a_{21} + x_{33}a_{31} = x_{11} (a_{11} + a_{12} + a_{13}),\\
x_{11}a_{12} + x_{22}a_{22} + x_{33}a_{32} = x_{22} (a_{21} + a_{22} + a_{23}),\\
x_{11}a_{13} + x_{22}a_{23} + x_{33}a_{33} = x_{33} (a_{31} + a_{32} + a_{33}).
\end{cases}
$$
Если убрать все лишнее, т. е. диагональные элементы слева и справа, получится так:
$$
\begin{cases}
\phantom{x_{11}a_{11}\, +\, } x_{22}a_{21}\, +\, x_{33}a_{31} = \phantom{x_{11}}( \phantom{a_{11}\, + \,} a_{12}\, +\, a_{13}),\\
\phantom{x_{11}}a_{12}\,\phantom{+\,x_{22}a_{22}\,}+\, x_{33}a_{32} = x_{22} (a_{21}\,\phantom{+\,a_{22}\,}+\,a_{23}),\\
\phantom{x_{11}}a_{13}\,+\,x_{22}a_{23}\,\phantom{+\,x_{33}a_{33}\,} = x_{33} (a_{31} + a_{32}\phantom{\,+\,a_{33}}).
\end{cases}
$$
Умножаем первое уравнение на a_{32}/a_{31}$ и вычитаем его из второго, находим чему равно $x_{22}$. Аналогично находим $x_{33}$.

Так, если не запутался в коэффициентах:
$$x_{22} = \frac{a_{12}(a_{31} + a_{32}) + a_{13}a_{32}}{a_{21}(a_{31} + a_{32}) + a_{23}a_{31}},$$
$$x_{33} = \frac{a_{13}(a_{21} + a_{23}) + a_{12}a_{23}}{a_{31}(a_{21} + a_{23}) + a_{32}a_{21}}.$$

 
 
 
 Re: Незнакомое мне матричное уравнение
Сообщение03.09.2016, 16:57 
Аватара пользователя
У Вас есть $n^2$ неизвестных и $n$ линейных уравнений (условие $x_{11}=1$ лишь выбирает коэффициент пропорциональность. Очень недоопределенная система.


-------
Тут мне заметили, что $X$ диагональная матрица. Тогда мое замечание снимается.

В частном случае когда $A$ диагональная матрица любая диагональная матрица $X$ удовлетворяет.

 
 
 
 Re: Незнакомое мне матричное уравнение
Сообщение03.09.2016, 17:36 
Аватара пользователя
Red_Herring, неизвестных тоже $n$, там диагональная матрица.

NPrim в сообщении #1148756 писал(а):
Если убрать все лишнее, т. е. диагональные элементы слева и справа
Я бы не стал убирать, если не убирать, то достаточно хорошо видно общий вид этой системы, для $3\times 3$ будет такой:
$$\begin{cases}
(-a_{12} - a_{13}) x_{11} + a_{21} x_{22} + a_{31} x_{33} = 0\\
a_{12} x_{11} + (-a_{21}-a_{23}) x_{22} + a_{32} x_{33} = 0\\
a_{13} x_{11} + a_{23} x_{22} + (-a_{31}-a_{32}) x_{33} = 0
\end{cases}$$

Видно, что у этой системы всегда есть нетривиальное решение. А дальше если $x_{11}$ не равно $0$, то его можно сделать равным $1$.

 
 
 
 Re: Незнакомое мне матричное уравнение
Сообщение03.09.2016, 19:26 
Аватара пользователя
Red_Herring в сообщении #1148763 писал(а):
Тут мне заметили, что $A$ диагональная матрица. Тогда мое замечание снимается.


Насколько я понял условие, диагональна лишь матрица $X$

 
 
 
 Re: Незнакомое мне матричное уравнение
Сообщение03.09.2016, 19:54 
Насколько я помню, для матричного уравнения $AX-XB=C$ есть явная формула для решения. Не так?

 
 
 
 Re: Незнакомое мне матричное уравнение
Сообщение03.09.2016, 21:09 
Аватара пользователя
sergei1961 в сообщении #1148809 писал(а):
Насколько я помню, для матричного уравнения $AX-XB=C$ есть явная формула для решения. Не так?

Да, если $A$ и $B$ не имеют общих собственных значений.
$X=-(2\pi i)\oint _\Gamma (z-A)^{-1}C(z-B)^{-1}\,dz,$$
где $\Gamma$ замкнутый, обходимый против часовой стрелки контур, содержащий внутри все с.з. $A$ и снаружи все с.з. $B$.

 
 
 
 Re: Незнакомое мне матричное уравнение
Сообщение03.09.2016, 21:17 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Там $X$ слева, нет? Что-то я плохо понимаю, как этот интеграл устроен... Red_Herring, где об этом можно прочитать? Интересно.

 
 
 
 Re: Незнакомое мне матричное уравнение
Сообщение03.09.2016, 21:21 
Это уравнение Ляпунова
https://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_equation

 
 
 
 Re: Незнакомое мне матричное уравнение
Сообщение03.09.2016, 21:47 
Другая ссылка: Беллман, Введение в теорию матриц, с. 212. Явное решение через матричный интеграл.

 
 
 
 Re: Незнакомое мне матричное уравнение
Сообщение03.09.2016, 21:52 
Аватара пользователя
Metford в сообщении #1148842 писал(а):
где об этом можно прочитать?
Не знаю. Но проверьте, что это дает решение

 
 
 
 Re: Незнакомое мне матричное уравнение
Сообщение03.09.2016, 21:58 
Аватара пользователя
Да я бы проверил, только не приходилось раньше с подобными формулами сталкиваться. Почитаю то, что sergei1961 посоветовал (за что отдельное спасибо!).

 
 
 
 Re: Незнакомое мне матричное уравнение
Сообщение03.09.2016, 22:26 
Xaositect
Ну да, в общем случае так и будет:
$\sum\limits_{j}^{} A_{ji}\lambda_j = \lambda_i \sum\limits_{k}^{} A_{ik}, i=1,...,n$.
Система однородная, но ур-я - зависимы: если сложить все ур-я, будет $0=0$. Значит, есть нетрив-е решения. Полагаем $\lambda_1 = 1,$ выбрасываем последнее ур-е - и (если повезет - см. замечание Xaositect) находим решение....
К таким системам приводит задача о стац. состояниях марковских цепей (с конечным числом состояний и непр. временем)

 
 
 
 Re: Незнакомое мне матричное уравнение
Сообщение03.09.2016, 22:29 
Аватара пользователя
Metford в сообщении #1148859 писал(а):
Да я бы проверил, только не приходилось раньше с подобными формулами сталкиваться.

Считайте упражнением по ТФКП (формула Коши)

 
 
 [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group