Какое число стоит напротив числа 111?

[Ktina]

Числа 1, 2, 3, . . . , 200 расставлены вдоль окружности в некотором порядке.
Для каждого числа $n$ среди 99 чисел, стоящих после него по часовой стрелке, и среди
99 чисел, стоящих до него, имеется поровну чисел, меньших $n$. Найдите, какое число
стоит напротив числа 111. (А. Голованов)

Попытка:
Против числа 2 может стоять только 1, иначе слева и справа не будет поровну.
Против числа 4 должно стоять одно из чисел, меньшее 4, иначе снова будет непоровну. Но 1 и 2 уже заняты, так как стоят друг против друга. Остаётся только 3 против 4.
Аналогично рассуждая, приходим к выводу, что против каждого нечётного числа стоит чётное на 1 больше него.
Таким образом, против 111 стоит 112.

Это так или что-то опять не так?
Пожалуйста, помогите решить.
Заранее спасибо!

[atlakatl]

А что? Красивое решение. Вполне возможно, что именно его имел ввиду Голованов.

(Оффтоп)

Вспоминал, откуда у меня на слуху эта фамилия. - "Контроль" Виктора Суворова.

[Ktina]

atlakatl
Спасибо!

atlakatl в сообщении #1148560 писал(а):

(Оффтоп)

Вспоминал, откуда у меня на слуху эта фамилия. - "Контроль" Виктора Суворова.

(Оффтоп)

Мне «Ледокол» больше понравился.

[atlakatl]

Ktina

(Оффтоп)

Вы девушка. А меня Настя Стрелецкая в "Контроле" - во времена моей юности - просто очаровала.

[Ktina]

А еще мне кажется, что решение было бы неполным без указания примера подобной расстановки. Ведь если такая расстановка невозможна в принципе, то задача некорректна.

Сперва расставим все нечётные числа по порядку: 1, 3, 5, ... 199, затем чётные: 2, 4, 6, ... 200.

Возможно, эта расстановка единственна с точностью до.

[Shadow]

Ktina в сообщении #1148582 писал(а):

Возможно, эта расстановка единственна с точностью до.

До $2^{100}\cdot 100!$ вариантов.

[Ktina]

Shadow
Откуда так много?

[arseniiv]

Зафиксировано только то, какие числа находятся напротив друг друга. Возьмём теперь полуокружность и посмотрим на части пар, которые в неё попали: во-первых, сами пары могут быть расположены друг относительно друга $100!$ способами. Во-вторых, в полуокружность может попасть как чётное, так и нечётное число из каждой пары, что даёт $2^{100}$. Если бы не было вращательной симметрии, аргумент был бы теперь полным. Но если мы выберем полуокружности другим способом, получим другую конфигурацию, так что количество вариантов будет меньше, потому что равно не количеству таких конфигураций, а количеству их орбит под действием поворотов. Если не ошибаюсь, будет меньше как раз в 200 раз.

-- Сб сен 03, 2016 12:24:53 --

Кажется, каждая конфигурация переходит при любом переводе в отличную, так что действительно 200.

[Shadow]

Для числа 1 есть 200 вариантов, число 2 - напротив его,
для 3 остаются 198 варианта, 4 - напротив его...

$2\cdot 100\cdot 2\cdot 99\cdots 2\cdot 1=2^{100}\cdot 100!$

Ну, если зафиксировать позицию числа 1, то будут $2^{99}\cdot 99!$