Бинарные отношения

[PWT]

На множестве $M$ из $7$ элементов дано бинарное ассиметричное отношение $R$, включающее $m$ пар.

1) При каком $m$ отношение является отношением линейного порядка на $M$?

2) Отношение $S$ получено из отношения $R$ симметричным, а затем рефлексивным замыканиями. При этом полученное отношение оказалось отношением эквивалентности. Нарисуйте граф возможного отношения $R$ с такими свойствами.

3) В условиях предыдущего пункта: чему равно $m$? Перечислите все возможные значения.


1) Ввиду того, что нам нужна рефлексивность, заполняем диагональ матрицы единицами (то есть минимум семь элементов). Ясно, что при $m=7$ отношение будет симметричным, потому нам не подходит этот вариант. Понятно, что $m=8$ вполне может быть. Достаточно взять любой внедиагональный элемент матрицы.
Чтобы получить остальные возможные значения $m$ (при которых возможен линейный порядок), можно взять единичную матрицу и заполнять элементы над диагональю, при этом будут получаться антисимметричные отношения.
При этом максимальное $m$ будет равно $6+5+4+3+2+1=21$. При этом $m$ может принимать все промежуточные целые значения между $8$ u $21$.
Но не все из этих отношений будут транзитивны. Как посчитать количество транизитвных? Или проще просто в лоб выписать для каждого $m$ из указанного целочисленного диапазона?
2) Что-то я не понял, нужно просто просто на каждом элементе петлю нарисовать, да и использовать ориентированные ребра для зарисовки?
3) А разве не для всех целочисленных $m$ из диапазона $8$ до $21$ это возможно?

[mihaild]

Обычно асимметричность означает $aRb \Rightarrow \neg bRa$, из чего следует иррефлексивность. У вас другое определение?
(и отношение порядка - строгое или нестрогое?)

Кроме того, является ли отношение $\{<a, a> | a \in M\}$ отношением нестрогого линейного порядка на $M$?

[VAL]

PWT, посмотрел Ваши попытки решения.
У меня возник вопрос: знаете ли Вы, что такое линейность отношения?
Ну и определение асимметричности, действительно, хотелось бы услышать. К сожалению, в разных источниках иногда встречаются разные определения.