Пространство многочленов, матрица оператора

[PWT]

Пусть в линейном пространстве многочленов от одной переменной степени не выше, чем три действует линейный оператор $A: V\to V,\; A(f(t))=f(0)+f'(t)-f''(t)$.

Найти ядро, образ и матрицу этого оператора в базисе $\left\langle 1,t,t^2,t^3\right\rangle$. Будет ли данный оператор диагонализуемым? Указать его жорданову форму. Ответ обоснуйте.

Ядро, образ и жорданову форму я находить умею, канонический базис тоже. Но это когда известна матрица оператора (а у нас ее еще нужно найти).

Пока что не понимаю -- как найти матрицу данного оператора.

Пусть $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$.

$A(f(x))=a_0+a_1+2a_2x+3a_3x^2-(2a_2+3a_3x)$

$A(f(x))=a_0+a_1+2a_2x+3a_3x^2-2a_2-3a_3x$

$A(1)=a_0+a_1$

$A(x)=2a_2-3a_3$

$A(x^2)=3a_3$

$A(x^3)=0$

Правильно ли это? И как дальше находить матрицу оператора?

Канонический базис и жорданов базис -- это одно и тоже?

[arseniiv]

Слева стоит $A(1)$, а справа появляются какие-то таинственные $a_0,a_1$. Непосредственно по определению

PWT в сообщении #1147369 писал(а):

$A: V\to V,\; A(f(t))=f(0)+f'(t)-f''(t)$

$A(x) = 0 + x' + x'' = 1$. Попробуйте так же с остальными.

[PWT]

Спасибо! Получается вот так.

$A(1)=1

$A(x)=1$

$A(x^2)=2x-2$

$A(x^3)=3x^2-6x$

Далее нужно подобрать такую матрицу $A$, что $Ac=b$, где $c=\begin{pmatrix} 1 \\ x \\ x^2\\ x^3\\ \end{pmatrix}$ и $b=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2x-2\\ 3x^2-6x\\ \end{pmatrix}$. Правильно ли я понимаю?

PWT в сообщении #1147369 писал(а):

Канонический базис и жорданов базис -- это одно и тоже?

[Slav-27]

Не надо так.

Матрица оператора в данном базисе -- это что? Её 1-й столбец -- это координатный столбец образа 1-го базисного вектора, 2-й -- 2-го и т. д.

Поэтому: берёте базисный многочлен, действуете на него оператором (вот досюда вы сделали), результат раскладываете по базису, коэффициенты разложения (числа!) записываете в столбец, столбец -- в матрицу.

-- 29.08.2016, 18:27 --

PWT в сообщении #1147369 писал(а):

Канонический базис и жорданов базис -- это одно и тоже?

Я не знаю, возможно да. Это лучше всего смотреть там, откуда вы взяли фразу "канонический базис". (Других вариантов я, впрочем, не вижу.)

[PWT]

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ -2 & 2 & 0 & 0\\ 0 & -6 & 3 & 0\\ \end{pmatrix}$$

Спасибо. У меня получилось так. Верно ли это?

[Slav-27]

Что-то точно не верно. Вы пишете, что 4-й базисный многочлен у вас идёт не в ноль

PWT в сообщении #1147380 писал(а):

$A(x^3)=3x^2-6x$

-- а 4-й столбец в вашей матрице ноль.

[arseniiv]

Ага, записали по строкам, транспонировать надо.

[PWT]

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -6\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ \end{pmatrix}$$

так

-- 29.08.2016, 19:54 --

Правильно?

[arseniiv]

У последнего столбца что-то компоненты сползли.

[PWT]

Спасибо. Правильно ли я понимаю, что если совокупное количество собственных векторов для всех собственных значений матрицы линейного оператора не равно размерности пространства, то оператор не диагонализуем?

[DeBill]

PWT в сообщении #1147445 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что если совокупное количество собственных векторов для всех собственных значений матрицы линейного оператора не равно размерности пространства, то оператор не диагонализуем?

Да, если под количеством Вы понимаете сумму размерностей собственных подпространств.

[PWT]

И еще один вопрос. А почему не выполняется равенство? Ведь по определению матрицы оператора -- должно выполняться. Но если транспонировать эту матрицу, то будет все ок. Почему так?

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 2 & -6\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ x \\ x^2\\ x^3\\ \end{pmatrix}\ne\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2x-2\\ 3x^2-6x\\ \end{pmatrix}$$

.

[kp9r4d]

PWT

Не должно.
Матрица действует на столбцы из чисел, грубо говоря.