Канонический вид эрмитовой формы

[TelmanStud]

Доброго дня!
Допустим имеется положительно определенная эрмитова форма

$$H=\mathbf{x}^\dagger A\, \mathbf{x}=\sum_{i,j}^n a_{ij}x_i x_j^*,$$

где $a_{ij}=a_{ji}^*$.
Преобразований $A\to B=SAS^\dagger$ приводящих $H$ к каноническому виду $\tilde{H}=\sum_i^nb_{ii}\vert \tilde{x}_i\vert^2$ бесконечно много.
Хотелось бы узнать, все эти преобразования $\{S_j\}$ образуют ли какую нибудь группу? Если да можно ли ее как то параметризовать?

[svv]

TelmanStud в сообщении #1147330 писал(а):

Хотелось бы узнать, все эти преобразования $\{S_j\}$ образуют ли какую нибудь группу?

Думаю, нет, потому что множество таких преобразований не замкнуто относительно композиции. Не получится ничего хорошего, если форму подвергнуть сначала одному хорошему преобразованию, а потом другому (в частности: тому же самому).

[TelmanStud]

svv в сообщении #1147334 писал(а):

Думаю, нет, потому что множество таких преобразований не замкнуто относительно композиции. Не получится ничего хорошего, если форму подвергнуть сначала одному хорошему преобразованию, а потом другому (в частности: тому же самому).

А если под композицией понимать не умножение?

[svv]

В смысле, $B$ равно не $S_2 S_1 A S_1^\dagger S_2^\dagger$, а чему то-другому? Хорошо, а чему?

[TelmanStud]

svv в сообщении #1147338 писал(а):

В смысле, $B$ равно не $S_2 S_1 A S_1^\dagger S_2^\dagger$, а чему то-другому? Хорошо, а чему?

Что то вроде этого $B=(S_1\oplus S_2)A(S_1\oplus S_2)^\dagger$, а вот что из себя представляет $\oplus$ хотелось бы узнать. И не обязательно $B$, пойдет наверно любая диагональная матрица.

[Munin]

Группу образуют преобразования, преобразующие канонический вид к каноническому виду.

А то, что вы описываете, есть эта группа плюс ещё какое-то преобразование.

[TelmanStud]

Munin
Ладно, пёс с ней этой группой. Рассмотрим просто множество $\{S_j\}$; нельзя ли введением какого-то конечного набора свободных параметров $\{u_1,u_2,\dots ,u_k\}$ задать общий вид преобразования к канонической форме (возможно к разным в зависимости от значений параметров).

[Munin]

Можно. Хотя бы потому, что вообще пространство всех преобразований конечномерного пространства - конечномерно.

[TelmanStud]

Munin
Ну и последнее..как это сделать))?

[TelmanStud]

И от скольких параметров оно будет зависеть?

[Munin]

Я так понимаю, это просто группа перестановок осей. Если какие-то собственные значения равны, то возникает непрерывная подгруппа преобразований собственного подпространства.

[TelmanStud]

Munin в сообщении #1147411 писал(а):

Я так понимаю, это просто группа перестановок осей.

Откуда?

[TelmanStud]

Munin
Еще и инверсии осей(... В конечном итоге указать в виде

$$S=\begin{pmatrix} s_{11}(\mathbf{a},\mathbf{u})& s_{12}(\mathbf{a},\mathbf{u})&\dots& s_{1n}(\mathbf{a},\mathbf{u})\\ s_{21}(\mathbf{a},\mathbf{u})& s_{22}(\mathbf{a},\mathbf{u})&\dots& s_{2n}(\mathbf{a},\mathbf{u})\\ \dots& \dots&\dots&\dots\\ s_{n1}(\mathbf{a},\mathbf{u})& s_{n2}(\mathbf{a},\mathbf{u})&\dots& s_{nn}(\mathbf{a},\mathbf{u}) \end{pmatrix},$$

где $\mathbf{a}$ набор элементов матрицы $A$, $\textit{не получиться.}$

[svv]

Преобразований, переводящих канонический вид в другой канонический вид, много. Помимо перестановок координат, это растяжение/сжатие осей:
$x_i=\lambda_i \tilde x_i$, где $\lambda_i\neq 0$, $i=1\ldots n$

И, кроме того, вращения. Причём различие коэффициентов $b_{ii}$ («отсутствие кратных собственных значений») не является препятствием для вращения. Например:
$H=\frac 1 4 x^2+y^2\quad\quad\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\cos\varphi&-2\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\tilde x\\\tilde y\end{bmatrix}\quad\quad H=\tilde x^2+\tilde y^2$
Допускаю, что кто-то назовёт это преобразование не вращением, а композицией чего-то и вращения.

Другой пример, из теории относительности (должен понравиться Muninу).
$s^2=t^2-x^2\quad\quad\begin{bmatrix}t\\x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\ch\psi&\sh\psi\\\sh\psi&\ch\psi\end{bmatrix}\begin{bmatrix}t'\\x'\end{bmatrix}\quad\quad s^2=t'^2-x'^2$

[Munin]

Нравится, нравится :-)