Гамма-функция

[kotenok gav]

Пожалуйста, помогите мне с помощью того что

$$\operatorname{\Gamma}(z)=\int\limits_{0}^{1}(-\ln x)^{z-1}\, dx$$

доказать следующие формулы:

$$\operatorname{\Gamma}(z)=\int\limits_{0}^{\infty}x^{z-1}e^{-x}\, dx$$

$$\ln\operatorname{\Gamma}(z)=(z-0.5)\lnz -z+0.5\ln{2\pi}+\int\limits_{0}^{\infty}{\left( \frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{2} \right)\frac{e^{-xz}}{x}\, dx}$$

$$\ln\operatorname{\Gamma}(z)=(z-0.5)\lnz -z+0.5\ln{2\pi}+2\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\arctg\frac{x}{z}}{e^{2\pi x}-1}\, dx$$

$$\ln\operatorname{\Gamma}(z)=\int\limits_{0}^{\infty}\left( z-1-\frac{1-e^{-(z-1)x}}{1-e^{-x}} \right)\, dx$$

$$\ln\operatorname{\Gamma}(z)=-(z-0.5)(1-\ln(z-0.5)) +0.5\ln{2\pi}-2\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\arctg\frac{x}{(z-0.5)}}{e^{2\pi x}+1}\, dx$$

$$\ln\operatorname{\Gamma}(z)=0.5\ln\pi - 0.5\ln\sin(\pi z) - \frac{2z-1}{2}\ln2\pi - \frac{\sin(2\pi z)}{2\pi}\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\ln x}{\ch x - \cos (2\pi z)}\, dx$$

$$\operatorname{\Gamma}(z)=(z-1)!$$

В первой, второй, третьей, четвёртой и пятой формулах $\operatorname{Re} z > 0$
В шестой формуле $\operatorname{Re} z > 0.5$
В седьмой $0 < \operatorname{Re}z < 1$
А в восьмой $z\in N$

Предполагаю дифференцировать.
К примеру:

$$\int\limits(-\ln x)^{z-1}\, dx = G(x;z)+C$$

$$\operatorname{\Gamma}(z)=\int\limits_{0}^{1}(-\ln x)^{z-1}\, dx = G(1;z)-G(0;z)$$

$$\operatorname{\Gamma}'(z)=\frac{dG(1;z)}{dz}-\frac{dG(0;z)}{dz}$$

$$\frac{dG(x;z)}{dz}=\int\limits\frac{d(-\ln x)^{z-1}}{dz}\, dx=\int\limits(\ln(-\ln x)) (-\ln x)^{z-1}\, dx=C(x;z)$$

$$\operatorname{\Gamma}'(z)=C(1;z)-C(0;z)$$

$$\int\limits_{0}^{\infty}x^{z-1}e^{-x}\, dx=D(z)$$

$$\int\limits x^{z-1}e^{-x}\, dx=E(x;z)$$

$$D(z)=E(\infty;z) - E(0;z)$$

$$D'(z)=\frac{dE(\infty;z)}{dz} - \frac{dE(0;z)}{dz}$$

$$\frac{dE(x;z)}{dz}=\int\limits \frac{dx^{z-1}e^{-x}}{dz}\, dx=\int\limits e^{-x}\ln x x^{z-1}\, dx=F(x;z)$$

$$D'(z)=F(\infty;z) - F(0;z)$$

Теперь осталось доказать что разница между $C(1;z)-C(0;z)$ и $F(\infty;z) - F(0;z)$ равна 0:

$$(C(1;z)-C(0;z))-(F(\infty;z) - F(0;z))=C(1;z)+F(0;z)-C(0;z)-F(\infty;z)=?$$

Правильно ли я делаю?

[DiMath]

kotenok gav
Сделайте замену в интеграле $x=e^{-t}$.

[kotenok gav]

Спасибо!!
А остальные формулы?

[sergei1961]

Предлагаю изучать эти формулы в стандартном порядке, как они изложены в справочнике Бэйтмен-Эрдейи, вопросов будет меньше.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Оставьте одну-две задачи. Вы бы еще весь задачник перепечатали. И совет из последнего поста примите к сведению.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.