2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Забавное неравенство
Сообщение25.08.2016, 11:56 
Заслуженный участник


26/06/07
1869
Tel-aviv
Пусть $a$, $b$ и $c$ положительны и $a^3+b^3+c^3+abc=4$. Докажите, что:
$$\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\geq3$$

(Равенство достигается)

ещё, например, когда $a=\frac{3}{2}$ и $b=c=\frac{1}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Забавное неравенство
Сообщение28.05.2017, 09:39 


03/03/12
1194
План длинного решения

(Оффтоп)

Не ограничивая общности, можно считать, что $a\ge c\ge b$, $0<c<\frac3 2$.
Приведя к общему знаменателю, получим:

$(2b+2c)a^3+[2b^2+(2c-3)b+c(2c-3)]a^2+\{b[2b^2+(2c-3)b+c(2c-3)]-c(3b+3c-2c^2)\}a+bc[2b^2+(2c-3)b+c(2c-3)]\ge0$

1). $c<1$
Имеем одну перемену знака. Неравенство достаточно исследовать при $a=c$.
2). $c\ge1$, ($b\le1$ (это следует из условия)).

$$f'_a=6(b+c)a^2+2[2b^2+(2c-3)b+c(2c-3)]a+\{2b^3+(2c-3)b^2+2c(c-3)b+c^2(2c-3)\}\ge0$$

Свободный член отрицателен, значит достаточно исследовать производную при $a=c$.

$12c^3+(12b-9)c^2+(6b^2-12b)c+2b^3\ge0$

Делаем усиление. Получаем верное неравенство.

$(3c^2+12bc^2)+(6b^2-12b)c+2b^3\ge0$ (к первой скобке применяем АМ-ГМ).

 Профиль  
                  
 
 Re: Забавное неравенство
Сообщение16.10.2018, 17:36 
Аватара пользователя


14/03/18
70
Неравенство эквивалентно следующему что $\sum \frac{b^2+c^2}{b+c}\geq\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3+abc}{4}}$
Пусть $3u=a+b+c$ $3v^2=ab+bc+ca$ и $w^3=abc$, тогда
$\frac{2(9u^2v^2-3v^4-2uw^3)}{9uv^2-w^3}\geq \sqrt[3]{\frac{27u^3-27uv^2+4w^3}{4}}$
Прологорифмиров обе части нам нужно доказать, что $f(w^3)\geq0$, где $f(w^3)=3\ln(9u^2v^2-3v^4-2uw^3)-\ln(27u^3-27uv^2+4w^3)-3\ln(9uv^2-w^3)+5\ln2$
$f'(w^3)=\frac{-729u^5v^2+162u^3v^4+351uv^6-48v^4w^3-8uw^6}{(9u^2v^2-3v^4-2uw^3)(27u^3-27uv^2+4w^3)(9uv^2-w^3)}<0$
Так как $f(w^3)$ убывающая функция, то достаточно проверить когда $w^3$ максимален. Без ограничения общности $b=c=1$, тогда нужно доказать, что $g(a)\geq0$, где $g(a)=3\ln(2a^2+a+3)-\ln(a^3+a+2)-3\ln(a+1)-3\ln3+2\ln2$
$g'(a)=\frac{(a-3)(a-1)(3a-5)}{(2a^2+a+3)(a^3+a+2)}$
$g(a)\geq\min\{g(1),g(3),g(\frac{5}{3})\}$=0

 Профиль  
                  
 
 Re: Забавное неравенство
Сообщение16.10.2018, 22:02 


16/04/18
158
тогда справа 1, а не 3.

 Профиль  
                  
 
 Re: Забавное неравенство
Сообщение17.10.2018, 02:52 
Заслуженный участник


26/06/07
1869
Tel-aviv
novichok2018 в сообщении #1346865 писал(а):
тогда справа 1, а не 3.

Это описка. В третьей строчке (а она, собственно, решает) всё правильно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group