Conditional expressions' values

[ins-]

Let $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $z$ are real numbers such that:
$a^3+b^3+c^3=27$
$x^3+y^3+z^3=8$
$a^2x+b^2y+c^2z=10$
$ax^2+by^2+cz^2=-9$
Find the values of the following expressions:
i) $\frac{a+b+c}{x+y+z}$
ii) $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}$

[svv]

Задание ii) некорректно. Возьмите такие значения переменных.
$\begin{array}{lllllll} \text{вариант 1:} & x=-\frac 1 4; & y=2; & z=-x; & a=3; & b=\frac {ax^2+9}{z^2-y^2}; & c=-b\\ \text{вариант 2:} & x=7-3\sqrt{\frac {11}2}; & y=2; & z=-x; & a=3; & b=\frac {ax^2+9}{z^2-y^2}; & c=-b\\ \text{вариант 3:} & x=7+3\sqrt{\frac {11}2}; & y=2; & z=-x; & a=3; & b=\frac {ax^2+9}{z^2-y^2}; & c=-b\end{array}$
Во всех трёх вариантах уравнения удовлетворяются, но значения $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}$ везде разные.

[ins-]

For some similar problems the expressions can obtain more than one value (I can provide an example). "the expression can obtain infinitely many values (eventually in some range)" is a valid answer. It is not a problem created by me. I found it in a math group I saw on facebook. It was posted by a guy from India. I posted the problem here, because it looks interesting and is not easy.

[svv]

Хорошо.

[svv]

Без дополнительных условий (помимо 4 уравнений) выражения $\frac{a+b+c}{x+y+z}$ и $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}$ могут принимать континуум значений. Поэтому предложу способ параметрического задания решений системы уравнений. Предполагается, что параметры выбираются так, что во всех дробях знаменатели не равны $0$.

Обозначим $A=a^3, B=b^3, C=c^3, p=\frac x a, q=\frac y b, r=\frac z c$. Тогда исходную систему уравнений можно записать так:
$\begin{bmatrix}1&1&1\\p&q&r\\p^2&q^2&r^2\\p^3&q^3&r^3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A\\B\\C\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}27\\10\\-9\\8\end{bmatrix}$
Для существования решения необходимо, чтобы определитель расширенной матрицы был равен нулю, что даёт:
$(p-q)(q-r)(r-p)\Bigl(8-(-9)(p+q+r)+10(pq+qr+rp)-27pqr\Bigr)=0$
Будем считать, что $p,q,r$ все различны (случай, когда есть совпадающие, надо рассмотреть отдельно). Тогда равен нулю последний множитель (то, что в больших скобках). Это даёт возможность, задавая $p$ и $q$ как параметры, найти $r$. Затем из системы линейных уравнений найти $A,B,C$ и далее все переменные. Привожу итоговые формулы.

$p$ и $q$ задаются произвольно (учитывая сделанные оговорки); $r=-\frac{8+9(p+q)+10pq}{9+10(p+q)-27pq}$
$\begin{array}{lll}A=\frac{9+10(q+r)-27qr}{(p-q)(r-p)}&a=\sqrt[3]A&x=pa\\[1.1ex]B=\frac{9+10(r+p)-27rp}{(q-r)(p-q)}&b=\sqrt[3]B&y=qb\\[1.1ex]C=\frac{9+10(p+q)-27pq}{(r-p)(q-r)}&c=\sqrt[3]C&z=rc\end{array}$

[ins-]

Thank you for posting a solution and excuse me for posting problem with not defined in a unique way expressions.

[svv]

Не беспокойтесь, всё в порядке.