Теория мультипликативный функций.

[Math_er]

Доброго времени суток.
Подскажите пожалуйста литературу по теории мультипликативных функций (можно на английском), в частности, по оценкам сумм $\sum_{n\leqslant x}f(x)$, где $f$ - мультипликативна и $|f(x)|\leqslant1.$
Существует достаточно много статей, в том числе советских, в которых решаются подобные задачи, но почти всегда речь идет о неотрицательных функциях (или неотрицательных значениях на множестве простых).
Особенно интересно, встречал ли кто-нибудь работы по оценке количества отрицательных или положительных значений таких сумм на отрезке?
К примеру, сколько раз сумма

$$\sum_{\substack{d|n \\ d<x}}\frac{\mu(d)}{d}$$

принимает отрицательное значение для $n\in[N,2N]$, где $x$ растет с $N$? Все мои попытки приводят меня к слишком грубому результату.

Спасибо.

[Sonic86]

Math_er в сообщении #1146006 писал(а):

Подскажите пожалуйста литературу по теории мультипликативных функций (можно на английском), в частности, по оценкам сумм $\sum_{n\leqslant x}f(x)$, где $f$ - мультипликативна и $|f(x)|\leqslant1.$

Например, Дэвенпорт Мультипликативная теория чисел, в ней же есть куча ссылок. Свободно лежит в гугле.
А вообще ждите ex-math - он Вам конкретно ответит.

Math_er в сообщении #1146006 писал(а):

К примеру, сколько раз сумма

$$\sum_{\substack{d|n \\ d<x}}\frac{\mu(d)}{d}$$

принимает отрицательное значение для $n\in[N,2N]$, где $x$ растет с $N$?

а существуют ли $x,n$ такое, что сумма отрицательна?
Как конкретно $x$ растет вместе с $N$?

[Math_er]

Sonic86 Спасибо, посмотрю.
Да, существует; $x$ - это некоторая постоянная степень $N$.

[Sonic86]

Math_er в сообщении #1146016 писал(а):

Да, существует;

А можно пример просто в виде пары чисел?

[ex-math]

Math_er
Основной способ -- метод комплексного интегрирования. Можно посмотреть, например, у Карацубы.
Есть также "элементарный" подход. Посмотрите книгу Постникова и по ссылкам там.
Та сумма, что привели Вы (по-моему, Вы уже о ней создавали тему) "испорчена" условием делимости. Эти методы с ней не сработают. Да и с хорошей суммой, вроде суммы функции Мебиуса по подряд идущим числам, поймать перемены знака -- не совсем тривиальная задача. Просто эти методы заточены под выделение главного члена, а он тут нулевой.

[Math_er]

Sonic86
Например, $N=n=x^2=30$.
ex-math
Спасибо за литературу, прочитаю. А что касается количества отрицательных значений значит Вы ничего посоветовать не можете?

Вот что получается у меня:
Во первых, можно заметить, что сумма для простых $n$ всегда положительна (просто 1), и поэтому доля положительных значений имеет порядок $\frac{N}{\ln N}$.
Можно сделать лучше, заметив, что наша сумма при любых $n$ и $x$ по модулю не превосходит 1. Обозначим за $D^{-}$ множество таких $n$, что сумма отрицательна. Тогда

$$\sum_{\substack{N\leqslant n<2N \\ n\in D^{-}}}1<\sum_{\substack{N\leqslant n<2N \\ n\in D^{-}}}\left(1-\sum_{\substack{d|n \\ d<x}}\frac{\mu(d)}{d}\right)\leqslant\sum_{\substack{N\leqslant n<2N}}\left(1-\sum_{\substack{d|n \\ d<x}}\frac{\mu(d)}{d}\right)=N-\sum_{d<x}\frac{\mu(d)}{d}\left(\frac{N}{d}+O(1)\right).$$

Рассматривая главную часть ( с остатком всё в порядке вроде), получим

$$N\left(1-\frac{6}{\pi^2}+o(1)\right),$$

что, начиная с некоторого $N$, меньше половины длины отрезка.

[ex-math]

А почему наша сумма не превосходит единицы?

[Sonic86]

Гы!
Написал программку: до $10^4$ число отрицательных значений суммы растет медленно (как $O(\ln n)$, у меня колебалось от 1 до 5).
Статистика числа отрицательных сумм до $10^4$:
0 9667
1 286
2 22
3 19
4 5
5 1
Энки, при которых число отрицательных значений растет на 1:
1 30
2 210
3 630
4 2520
5 9240
6 27720
7 120120
8 360360
Гипотеза 2: $((\exists x)\sum\limits_{d|n, \ d\leqslant x}\frac{\mu(d)}{d}<0 )\Rightarrow 30|n$.

[Math_er]

ex-math
Думаю, доказательство проще всего посмотреть здесь. Тао доказывает элементарно более общий результат, но есть и наша сумма (как следствие).

Sonic86
А что колебалось от 1 до 5?
Вот получить $O(\ln N)$ - и есть моя цель. Или хотя бы $\ll(\ln N)^{\ln^{1-\varepsilon}N}$. Но ничего в голову не приходит. А вообще у меня сумма немного другая, но надо хотя бы с этой разобраться.
По поводу Вашей гипотезы 2 - на первых взгляд мне кажется, что она не верна (возможно, увидев всю статистику перед глазами я поверил бы), но тогда это означает, что суммируя $n$ по нужной прогрессии, можно добиться неотрицательности.

[Sonic86]

Math_er в сообщении #1146120 писал(а):

А что колебалось от 1 до 5?

Число отрицательных сумм при фиксированном $n$ (ограничения, связанные с $N$, я пока вообще выкинул)

Math_er в сообщении #1146120 писал(а):

о поводу Вашей гипотезы 2 - на первых взгляд мне кажется, что она не верна

мне тоже

Math_er в сообщении #1146120 писал(а):

Вот получить $O(\ln N)$ - и есть моя цель. Или хотя бы $\ll(\ln N)^{\ln^{1-\varepsilon}N}$.

Гы, тут бы $O(N^a), a<1$ получить.

Math_er в сообщении #1146120 писал(а):

но тогда это означает, что суммируя $n$ по нужной прогрессии, можно добиться неотрицательности.

Хотите проверить? Могу. Надо?

Я пока ручку и бумагу в руки не брал, потому ничего умного не скажу.

[Math_er]

Sonic86
Да нет, не стоит Вашего времени. Тем более, изначально у меня сумма то другая, а эту я как пример привел, чтобы было понятно о чем речь.
А мне нужно получить такую оценку для

$$\sum_{\substack{d|n \\ d<x}}\frac{\mu(d)}{d^{\frac{1}{\ln x}}}.$$

В любом случае, спасибо!

[Sonic86]

Ууу,
так это савсэм другая сумма...

[Math_er]

Sonic86
Ну, что-то общее же есть

А на какой платформе вы пишете такие программки?

[Sonic86]

Math_er в сообщении #1146143 писал(а):

А на какой платформе вы пишете такие программки?

Здесь - topic14229.html - описан PARI/GP, там функция Мебиуса встроенная.

[ex-math]

Интересно попробовать оценить число отрицательных значений снизу. Обычно эти оценки ближе к реальности, чем верхние.
Можно поподробнее про связь $N $ и $x $? Это существенный момент.