Аналог производной.

[sa233091]

Здравствуйте. На сколько я понимаю, главное применение производной заключается в исследовании функции на промежутки монотонности, выпуклости и т.д. То есть функция $\[f'(x)\]$ есть некоторая вспомогательная функция для исследования функции $\[f(x)\]$. Традиционно её берут как предел $\[\mathop {\lim }\limits_{\delta x \to + 0} \frac{{f(x + \delta x) - f(x)}}{{\delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\delta x \to +0} \frac{{\delta y}}{{\delta x}}\]$
То есть требуется некоторая величина, характеризующая на сколько $\[\partial x\]$ больше (меньше), чем $\[\partial y\]$
Первое, что приходит в голову взять в качестве этой величины разность $\[\partial y - \partial x\]$ , но у этой идеи есть существенный минус: величина $\[\partial y - \partial x\]$ (если функция непрерывная) является бесконечно малой, таким образом можно лишь оценить её знак. Тем не менее это не мешает например найти критические точки. Покажу это на примере:
Возьмем например функцию $\[f(x) = {x^2} - x\]$, обозначим величину $\[\partial y - \partial x\]$ как $\[f\# (x)\]$. $\[f\# (x) = ({(x + \partial x)^2} - (x + \partial x)) - ({x^2} - x)-\partial x = 2x\partial x{\rm{ + }}\partial {x^2} - 2\partial x = \partial x(2x + \partial x - 2)\]$
$\[f\# (x)=0\]$
$\[x = \frac{1}{2}\]$, что полностью совпадает с результатом, полученным классическими методами исследования.
Далее в голову приходит вопрос: А что, если взять в качестве <<производной>> более сложную функцию к примеру $\[^{{{(\frac{{\delta y}}{{\delta x}})}^2}}\] $ или $\[{\log _{\partial x}}\partial y\]$?
Не поможет ли это упростить решение некоторых задач математического анализа?

[Lia]

sa233091 в сообщении #1145763 писал(а):

Возьмем например функцию $\[f(x) = {x^2} - x\]$, обозначим величину $\[\partial y - \partial x\]$ как $\[f\# (x)\]$. $\[f\# (x) = ({(x + \partial x)^2} - (x + \partial x)) - ({x^2} - x) = 2x\partial x{\rm{ + }}\partial {x^2} - \partial x = \partial x(2x + \partial x - 1)\]$

Во второй строке Вы не следуете первой. Доводите стартовый пост до ума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

См. выше.
И значок \partial не надо не по делу использовать.
Обычно в таких случаях пишут \Delta

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.