Произвольную точку --- в инцентр

[function]

Здравствуйте! Заинтересовал такой вопрос: <<Верно ли, что любой треугольник $T$ с точкой $A$ внутри него можно перевести аффинным преобразованием в треугольник $T'$ с точкой $A'$, являющуюся инцентром $T'$?>>

Треугольников-образов много всяких разных, может существует какое-нибудь непрерывное преобразование из произвольного треугольника-образа в нужный $T'$? С другой стороны, не исключён и контрпример. В общем, я затрудняюсь представить попытки решения.

[maxmatem]

function
А Вы не пробывали рассмотреть более простой случай, скажем, чтобы точка $A$ переходила в точку пересечения медиан?

-- Сб авг 20, 2016 17:37:26 --

Мне интуитивно кажется что нет причин по которым точка $A$ не перешла бы в интересующую вас точку, но все же .....

При чем хорошо известно, что афинное преобразование переводит треугольник в подобный ему треугольник. Может как то от это следует отталкиваться.

[DeBill]

function
При аффинном преобразовании сохраняются барицентрические координаты точек...
Инцентр - центр вписанной? Если стороны тр-ка равны $a,b,c$, то центр масс системы масс $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ (в соотв-х вершинах) как раз и совпадает с центром вписанной. Отсюда - план: находим бариц-е к-ты точки $A$ в тр-ке $ABC$, подбираем $a,b,c$, чтобы соотв-я система имела те же к-ты, и если для них выполняется нер-во тр-ка, то решение есть....

[maxmatem]

DeBill

Цитата:

Если стороны тр-ка равны $a,b,c$, то центр масс системы масс $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ (в соотв-х вершинах) как раз и совпадает с центром вписанной.

Я правильно понимаю, что центр вписанной окружности будет иметь барицентрические координаты $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ ?

[function]

maxmatem в сообщении #1145493 писал(а):

афинное преобразование переводит треугольник в подобный ему треугольник

Не всегда, на самом деле

-- 20.08.2016, 16:51 --

DeBill в сообщении #1145494 писал(а):

При аффинном преобразовании сохраняются барицентрические координаты точек...

DeBill,
спасибо, что напомнили мне о них!

[DeBill]

maxmatem
Бари-коор-ты точки $A$ - это тройка чисел $(p,q,r)$, такая , что $p+q+r = 1$, и , если массы $p,q,r$ поместить в вершины тр-ка, то центр масс этой системы совпадет с $A$. Потому к-ты будут $\frac{(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}$.

[maxmatem]

DeBill
спасибо
function
А Вы представьте его в виде композиции двух растяжений

[function]

maxmatem в сообщении #1145509 писал(а):

А Вы представьте его в виде композиции двух растяжений

Зачем?

[maxmatem]

function
Посмотрите в книге Прасолов. Задачи по планиметрии задачу №29.9

Цитата:

Докажите, что любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции двух растяжений и аффинного преобразования, переводящего любой треугольник в подобный ему треугольник.

[provincialka]

maxmatem
Прасолов пишет, что такие аффинные преобразования существуют, а не то, что они все такие.

И вообще, не стоит ссылаться на задачи, лучше на определения.

[maxmatem]

provincialka
Хорошо. Но значит все таки можно проделать трюк с подобием.
В следующий раз более конкретно буду аргументировать свою точку зрения.

[DeBill]

function
Получается, что задача имеет решение, если и токо если барицентрические к-ты $(p,q,r)$ точки $A$ удовлетворяют условиям
$\frac{1}{p} < \frac{1}{q} + \frac{1}{r}$, и - еще двум аналогичным...
Вот токо геометрически описать множество таких $A$ я затрудняюсь.