дельта функция

[falazure123]

Дельта-функция Дирака не порождается никакой функцией из $L^1_{loc}(\Omega)$.

Доказательство:
пусть есть $f \in L^1_{loc} : <u, \delta> = <u, f> = \int\limits_{\Omega}^{}fu = u (0) , \forall u \in C^\infty_{0}(\Omega)$

Рассмотрим такие $u$, у которых $0$ не лежит в носителе.
Для них верно:
$<u, f> = \int\limits_{\Omega}^{}fu = 0 , u \in C^\infty_{0}(\Omega / \left\lbrace0\right\rbrace)$
Вот почему это верно? Ноль не лежит в носителе это значит, что в нуле функция $u$ обращается в ноль. А как получается так, что весь интеграл по омеге равен нулю?

[DiMath]

falazure123
У Вас же выше написано, что этот интеграл совпадает со значением функции $u$ в нуле.

[falazure123]

да, пока печатал, понял. Спасибо большое

еще вопросик
соболевский класс $H^1(\Omega) = \left\lbrace u \in L^2(\Omega) : \frac{\partial u}{\partial x_{i}} \in L^2 (\Omega) \right\rbrace$

И говорится, что вот эта производная имеется в виду в обобщённом смысле.

Я знаю, как дифференцировать в обобщенном смысле.
$<u, D^{\alpha} v> := (-1)^{|\alpha|} <D^{\alpha} u, v>$, где альфа - это мультииндекс.

ну получается, что когда обобщенно дифференцирую, то получаю число. Так что тогда означает в определении соболевского класса

$\frac{\partial u}{\partial x_{i}} \in L^2 (\Omega)$ в обобщенном смысле

-- 20.08.2016, 18:55 --

Например, можно рассмотреть функцию Хевисайда. И найти её обобщенную производную.
Сама функция Хевисайда из $L^2(\Omega)$. Пусть $\Omega = R$

Обобщенной производной будет дельта-функция. Но дельта-функция - сама по себе вообще не функция. значит она не из $L^2 (R)$ ну и значит функция Хевисайда не из соболевского класса $H^1 (R)$

это правильные рассуждения?

-- 20.08.2016, 19:11 --

Видимо вопрос надо так поставить:
что вообще подразумевается под понятием "Обобщённая производная" ?

И как это связано с классическими функциями?

[Vince Diesel]

Обобщенная функция $-$ это линейный функционал, действующий на пробные функции $v$ по тому правилу, что вы написали:

falazure123 в сообщении #1145517 писал(а):

$<u, D^{\alpha} v> := (-1)^{|\alpha|} <D^{\alpha} u, v>$

Это функционал определен для любой обобщенной функции $u\in {\cal D'}(\Omega)$. Пусть теперь для некоторой $u$ существует функция $w\in L_2(\Omega)$ такая, что

$$ <u, D^{\alpha} v>=(-1)^{|\alpha|} \int_\Omega wv\,dx $$

для любой пробной функции $v$. Таким образом, интеграл в правой части реализует указанный абстрактный функционал для производной. В этом случае функцию $w$ называют обобщенной производной порядка $ {\alpha}$ функции $u$.

[falazure123]

Определение я понимаю. И как считать тоже понимаю.
Я на первом месте в скобках пишу пробную функцию, на втором месте - обобщённую.

Вот, например, такое утверждение.
Пусть $ v \in C^1 (\Omega) \subset L^1_{loc} (\Omega) $

рассмотрим обобщенную производную $v_{x_{i}}$

$<u, v_{x_{i}}> = -<u_{x_{i}}, v> = -\int\limits_{\Omega}^{}u_{x_{i}}vdx = \int\limits_{\Omega}^{}uv_{x_{i}}dx - \int\limits_{\partial \Omega '}^{}uvn_{i}d\sigma$ = \int\limits_{\Omega}^{}uv_{x_{i}}dx=<u, v_{x_{i}}>

Первое равенство - по определению обобщенной производной.
Второе равенство - верно, так как $v$ - локально интегрируема и это просто интеграл произведения.
Третье равенство - интегрирование по частям.
Четвертое равенство - значение $u$ на границе равно нулю
Пятое равенство - снова записали как действие обобщенной функции.


Вот только в начале была обобщенная производная. А после последнего равенства стоит обычная классическая производная.

Я не понимаю почему мы говорим ,что это классическая производная, но при этом пишем её в угловых скобках, как будто она и обобщенная.

[Otta]

Ну какая же она обычная классическая, когда это функционал на пробной функции.
(Хотя что хотели показать этой чудесной выкладкой, мне не очень понятно. Ну получили что нечто равно себе же, ну и чудесно. Может, конечно, по контексту яснее.)

[falazure123]

Otta в сообщении #1145708 писал(а):

Ну какая же она обычная классическая, когда это функционал на пробной функции.
(Хотя что хотели показать этой чудесной выкладкой, мне не очень понятно. Ну получили что нечто равно себе же, ну и чудесно. Может, конечно, по контексту яснее.)

Ну вообще нам лектор это утверждение дал , чтобы показать, что если функция непрерывно дифференцируема , то обобщенная производная совпадает с классической.

Изначально мы говорим: рассмотрим обобщенную производную v
дальше проинтегрировали по определению и получили

$$\int\limits_{\Omega}^{}uv_{x_{i}}$$

здесь уже классическая производная v.

и получили мол 'обобщенная производная непрерывно-дифференцируемой функции совпадает с обычной'

-- 21.08.2016, 14:03 --

то есть в первый раз в скобках стоит один объект
второй раз уже другой
просто обозначение одно и то же. я так понимаю это

[Otta]

falazure123 в сообщении #1145710 писал(а):

Ну вообще нам лектор это утверждение дал , чтобы показать, что если функция непрерывно дифференцируема , то обобщенная производная совпадает с классической.

А, ясно.
Совет: обозначьте обобщенную и классическую производную по-разному.

[falazure123]

Так что всё таки значит, что обобщенная производная совпадает с классической в данном случае?

$<u, v'_{general}> = <u, v'_{classic}> \forall u \in C^{\infty}_{0}$ - я так понял, что вот это и значит.

[Otta]

Ну да.