Рациональные решения уравнения 4 степени

[scwec]

Даны рациональные числа $N,a$ такие, что $N\ne{2a^2}$
Докажите, что найдутся рациональные числа $x,y$, такие, что $\dfrac{y^4-a^4}{x^2-a^2}=N$

[sergei1961]

придёт nnosipov и всё решит...

[Коровьев]

Как и в предыдущей задаче точка $(a,a)$ даёт решение

$$\[ x = \frac{{ - 48a^9 + 96Na^7 - 72N^2 a^5 + 24N^3 a^3 + N^4 a}}{{\left( {4a^4 - 8Na^2 + N^2 } \right)^2 }} \] $

$$\[ y = \frac{{4a^5 - 3N^2 a}}{{4a^4 - 8Na^2 + N^2 }} \] $

Проверено PARI

[scwec]

Коровьев, решение верное.
Чуть больше хлопот с уравнением $\dfrac{y^4-a^4}{x^2-b^2}=N$ и $N\ne\dfrac{2a^4}{b^2}$
Решение для него:
$x=\dfrac{b(-72N^2b^4a^8+96Nb^2a^{12}-48a^{16}+24N^3b^6a^4+N^4b^8)}{(-8b^2Na^4+N^2b^4+4a^8)^2}$
$y = \dfrac{(3N^2b^4-4a^8)a}{(-8b^2Na^4+N^2b^4+4a^8)}$.
Докажите, что при $N,a,b\ne{0}$ для существования рациональных решений $x,y$ этого уравнения
условие $N\ne\dfrac{2a^4}{b^2}$ является необходимым ( достаточность следует из приведенного выше решения для $x,y$).