Неравенство 6.

[TR63]

Требуется доказать или опровергнуть неравенство:

$\frac{13k^2b+15}{(13k^2b^2+5)^2}k^2-\frac{2b}{(13+k^2)^2}k-\frac{b}{18}\ge0$

при
$k\ge1$, $0<b\le1$.

Прошу проверить моё решение.

Я предполагаю, что уравнение может иметь при данных условиях не более одного положительного корня. Привожу всё к общему знаменателю. Знаменатель положителен. Числитель имеет вид (с помощью Вольфрама):

$(234b-169b^5)k^8-(4394b^5+130b^3-6084b-270)k^6-(34645b^5+3380b^3-39521b-7020)k^4-(26650b^3+650b-45630)k^2-5125b\ge0$

Поскольку имеется только одна перемена знака, то количество положительных корней равно единице. Поэтому, чтобы доказать неравенство, достаточно проверить его при $k=1$. Проверяю на Вольфраме. Всё сходится. Значит неравенство верно.
Но всё слишком тривиально. (А, в источнике подразумевается сложное решение.) Поэтому прошу проверить моё решение. Может, где-то есть ошибка.

[Someone]

А как Вы определили, что имеется только одна перемена знака?

[TR63]

Прикинула устно в уме, учитывая, что из условия следует $b>b^n$. Заменяю $b^n$ на b. Раз большее отрицательно, то меньшее и подавно отрицательно. Затем минус на минус даёт плюс. Вы считаете, что надо расписать подробнее? Если у Вас другой результат, то придётся расписать подробнее. Отрицательным получился только последний знак.

[Cash]

Из второй дроби должны появиться $k$ в нечетной степени. Куда они делись?

[TR63]

Вольфрам выдаёт только чётные степени. Предлагаете считать вручную или дать ссылку на Вольфрам? Только надо уточнить, как делать ссылку с Вольфрама (там столько букв; их все надо набирать или достаточно набрать начало?)

[Cash]

Коэффициент в числителе при $k^5$ считается без всяких вольфрамов моментально и это явно не ноль. Поскольку железяка, как правило, сама не ошибается - возникает вопрос, что же ей подавалось на вход?

[TR63]

Cash, спасибо. Пропустила при наборе k во втором слагаемом. Буду пересчитывать.

-- 18.08.2016, 23:06 --

Ага, теперь показался монстр. Если у кого есть идеи, как решить вопрос о количестве корней такого уравнения, прошу помочь разобраться.

-- 18.08.2016, 23:23 --

[TR63]

Пересчитала. Теперь числитель имеет вид:

$-[(169b^5-234b)k^8+(4394b^5+130b^3-6084b-270)k^6+6084b^5k^5+(28561b^5+3380b^3-39521b-7020)k^4+4680b^3k^3+(21970b^3+650b-45630)k^2+900bk+4225b]$

Получается 5 перемен знака для положительных и одна для отрицательных корней.
Вопрос: не следует ли из условия, что количество положительных и отрицательных корней должно быть одинаковым. Если следует, то решение опять становится тривиальным. А, как объяснить, что не следует. Может у кого есть контрпример.
Я ещё проверила простой случай, когда $k=\frac1 b$. Положительный корень один.

[VPro]

Переписать неравенство так:
$\frac{13+\frac{15}{b}y^2}{(13b^2+5y^2)^2}\ge\frac{2}{y(13+y^{-2})^2}+\frac{1}{18},$ где $y=\frac1k$.
Исследовать левую часть на минимум, правую на максимум при $0<y,b\le1$.

[TR63]

VPro в сообщении #1145220 писал(а):

где $y=\frac1k$

По-моему отличная идея. Подставляю в исходное уравнение $k=\frac1 y$. Привожу к общему знаменателю. В числителе получается многочлен с одной переменой знака (проверила на Вольфраме). И надо выяснить, когда $(-f)<0$. Достаточно провести исследование в одной точке$y=1$. Тогда левее её, т.е. при$y<1$ или $k>1$ неравенство верно. Всё сходится. Меня устраивает такой план решения.
VPro, Вы можете завершить свой план. И, если и у Вас всё сойдётся , разместить решение в Олимпиадном разделе. К этой задаче сводится имеющаяся там до сих пор нерешённая задача. Если интересно, какая и как сводится, распишу подробнее. А, мне эта задача интересна в плане обобщений. Спасибо.

[VPro]

Для неравенства $\frac{13+\frac{15}{b}y^2}{(13b^2+5y^2)^2}\ge\frac{2}{y(13+y^{-2})^2}+\frac{1}{18}$ легко убедиться, что минимум левой части на квадрате $0\le b,y\le1$ достигается при $ y=0, b=1$ и равен $ 1/13=0.07692$...
Максимум правой части достигается при $y=\sqrt{\frac{3}{13}}$ и равен $\sqrt{\frac{3}{13}}\frac{9}{169\cdot8}+\frac{1}{18}=0.06941$...

[TR63]

TR63 в сообщении #1145243 писал(а):

надо выяснить, когда $(-f)<0$.

Здесь опечатка. Исправляю. Должно быть: $(-f)>0.$

TR63 в сообщении #1145243 писал(а):

И, если и у Вас всё сойдётся , разместить решение в Олимпиадном разделе.

Возможно, размещать ещё рано, т.к. не проверила все возможные варианты взаимного расположения переменных, действующих там $(a,b,c)$. Здесь рассмотрен вариант $b<a<c$. Конечно, интересно посмотреть, будет ли решение таким же тривиальным при других расположениях переменных. Но прежде спрогнозировать, пройдут ли предложенные методы для другого расположения переменных. Если пройдут, то сделать обобщение, что для этого необходимо. Благо зацепка там есть в виде интересного свойства. (Для меня это задача на потом.)

[TR63]

Прошу проверить решение неравенства. Пока рассматриваю одно взаимное расположение переменных. Если ошибок не будет, то надо рассмотреть другие расположения переменных.

Для $0\le c\le b\le a$ доказать неавенство:

$\frac{a^3}{13a^2+5b^2}+\frac{b^3}{13b^2+5c^2}+\frac{c^3}{13c^2+5a^2}\ge\frac{a+b+c}{18}$

1). Рассмотрим случай $c\le b\le a$.

В силу наличия гомогенизации, неравенство при таком расположении переменных достаточно доказать для $bk\le b\le1$, $0\le k\le1$ Т.е. надо доказать, что

$f(k;b)=\frac{k^3b^3}{13k^2b^2+5}-\frac{b}{18}k+\{\frac{b}{13+5k^2}-\frac{b}{18}-\frac{1}{18}+\frac{1}{13+5b^2}\}\ge0$

Если докажем, что

$f'_k=b\{b^2k^2\frac{13k^2b^2+15}{(13k^2b^2+5)^2}-\frac{10k}{(13+5k^2)^2}-\frac{1}{18}\}\le0$

то далее останется сделать проверку на концах промежутка . Достаточно рассмотреть только числитель:

$f_1=5\{(325k^8+1690k^6-6084k^5)b^4+(700k^6+3640k^4-4680k^3+4732k^2)b^2-(125k^4+650k^2+900k+845)\}$

Это парабола. На Вольфраме вычисляю её максимум. Он отрицателен. Значит производная отрицательна, а сама функция монотонна. И её достаточно исследовать на концах промежутка. Там всё сходится. Сами вычисления на Вольфраме очень жуткие. Прошу проверить хотя бы логическую часть. Желательно и арифметическую. Если замечаний не будет, то продолжу.