Докажите, что N - девятка

[Ktina]

В записи натурального числа, представимого в виде суммы кубов трёх последовательных натуральных чисел, используется только цифра $N$ (возможно, более одного раза).
Докажите, что $N$ - девятка.

[icu]

1. Обозначим данное число как $P$.
2. По условию: $P=a^3+(a+1)^3+(a+2)^3=3a^3+9a^2+15a+9$.
3. Последняя цифра $P$ равна 9:$P\bmod10=9$. Но $P$ составлено из одинаковых цифр $N$. Следовательно, $N=9$.

[Shadow]

icu в сообщении #1145116 писал(а):

Последняя цифра $P$ равна 9

С чего вдруг?

[SomePupil]

Все числа вида $n^3+(n+1)^3+(n+2)^3$ делятся на $9$. Утверждение доказывается индукцией: база $n=1$, при переходе используем $(n+3)^3 - n^3 = 9n^2 + 27n +27$
Но это еще не значит, что $N=9$.

[worm2]

Причём, возможно, что девятка перевёрнута.
$12^3+13^3+14^3=6669$

[slavav]

Компьютерный анализ позволяет сформулировать гипотезу
$\forall k \forall d \in \left\lbrace0, 1, 4, 5, 9\right\rbrace \exists a : a^3 + (a + 1)^3 + (a + 2)^3 \equiv d \frac{10^k - 1}9 \pmod{10^k}$.
На человеческом языке это означает: для любого хвоста из одних нулей или одних единиц или одних четвёрок или одних пятёрок или одних девяток можно предъявить сумму трёх последовательных кубов, которая имеет этот хвост.
Гипотеза проверена для $k \leqslant 8000$.
В общем, анализ остатков по степеням 10 не помогает решить исходную задачу.

[waxtep]

Ktina в сообщении #1144695 писал(а):

В записи натурального числа, представимого в виде суммы кубов трёх последовательных натуральных чисел, используется только цифра $N$ (возможно, более одного раза).
Докажите, что $N$ - девятка.

Обозначим среднее из трех натуральных чисел за $n$, цифру за $m$, и количество раз, которое она используется, за $p$. Тогда:

$$(n-1)^3+n^3+(n+1)^3=\underbrace{mm\ldots m}_{p \textit{ штук}}\Leftrightarrow 27n(n^2+2)+m=m\cdot 10^p$$

Рассмотрение этого равенства по модулю $10^7$ дает ограничение $p\leq 6$ (т.к. максимальное значение остатка от деления $27n(n^2+2)$ на $10^7$ равно $9999936$, что не может быть скомпенсировано цифрой $m$). Случаи $1\leq p\leq 6$ переберем вручную и найдем единственное решение $p=2, m=9$:

$$2^3+3^3+4^3=99$$

-- 23.08.2016, 20:49 --

Не, ерунда, потерял точность вычислений:-(