Система «жидкость-пар»: задача с Москвоской олимпиады 2014

[Maxim_39]

Всем здравствуйте! У меня возникли некоторые трудности с такой задачей:

Цитата:

В гладком цилиндре под подвижным поршнем находятся в равновесии $\nu$ молей жидкости и $\nu$ молей её пара. Систему «жидкость-пар» сначала медленно нагрели в изобарическом процессе 1–2, при этом её абсолютная температура возросла в два раза. Затем систему медленно охладили в адиабатическом процессе 2–3 до температуры $T_3$. Какое количество теплоты получила система «жидкость-пар» в процессе 1–2, если работы, совершённые этой системой в процессах 1–2 и 2–3, были одинаковыми? Молярная теплота парообразования в процессе 1–2 равна $r$. В процессе 2–3 конденсация не происходит. Считать пар идеальным газом с молярной теплоёмкостью в изохорном процессе $3R$. Объём жидкости в состоянии 1 считать пренебрежимо малым по сравнению с объёмом пара.

Как решаю: в самом начале пар насыщен, значит, в состоянии 2 он насыщенным уже не будет, т.к. температура по условию увеличится в два раза. Пусть она станет равной $2T$. Т.е. в процессе 1-2 вся воды испарится. На это потребуется кол-во теплоты $\nu r$, газ в процессе испарения воды работы совершать не будет и изменять свою температуру не будет тоже (она по-прежнему будет равна $T$). Работа будет совершаться при изобарном нагреве газа: т.к. температура увеличится в два раза, то и объём увеличится в два раза, а значит работа равна $2 \nu R T$ (1).
Легко найти работу в адиабатическом процессе 2-3: по модулю она равна изменению кинетической энергии газа, т.е. $6 \nu R (2T-T_3)$ (2). Тогда приравнивая работы (1) и (2) ((по условию они равны) получаем, что $5T=3T_3$, а значит общее искомое количество теплоты равно $\frac{24}{5} \nu R T_3+\nu r$.
Пожалуйста, прошу помочь мне найти ошибку в моём решени, ибо с ответом полученное значение не сходится (там $\frac{16}{3}\nu R T_3+\nu r$). Большое спасибо!

[Munin]

Maxim_39 в сообщении #1144451 писал(а):

Как решаю: в самом начале пар насыщен, значит, в состоянии 2 он насыщенным уже не будет, т.к. температура по условию увеличится в два раза. Пусть она станет равной $2T$. Т.е. в процессе 1-2 вся воды испарится.

Либо второй вариант: вначале пара вообще не было, и поршень лежал на поверхности жидкости. Требует отдельного анализа.

Maxim_39 в сообщении #1144451 писал(а):

Т.е. в процессе 1-2 вся воды испарится. На это потребуется кол-во теплоты $\nur$, газ в процессе испарения воды работы совершать не будет и изменять свою температуру не будет тоже (она по-прежнему будет равна $T$).

Почему работы совершать не будет? Объём пара будет увеличиваться, поршень будет подниматься, значит, работа никуда не денется. Так что эта работа прибавится к теплоте испарения.

[DimaM]

Maxim_39 в сообщении #1144451 писал(а):

газ в процессе испарения воды работы совершать не будет

Будет - объем-то изменяется. Дополнительная работа $P\Delta V=RT\Delta\nu=\nu RT$, а всего $3\nu RT$.
После этого все сходится.

-- 16.08.2016, 16:46 --

Munin в сообщении #1144453 писал(а):

Либо второй вариант: вначале пара вообще не было, и поршень лежал на поверхности жидкости.

По условию вначале жидкости и пара поровну.

[Munin]

DimaM в сообщении #1144455 писал(а):

По условию вначале жидкости и пара поровну.

А, точно, это я пропустил.