Ортогональные диагонали в n-мерном кубе

[Hasek]

Назовём диагональ куба главной, если она соединяет противоположные вершины. Сколько главных диагоналей в $n$-мерном кубе ортогональны
(а) данной главной диагонали?
(б) данной главной диагонали $k$-мерной грани?

(а) У $n$-мерного куба $2^n$ вершин, а так как каждая диагональ соединяет две вершины, то в нём $\frac{2^n}{2} = 2^{n-1}$ главных диагоналей. В силу симметрии куба все главные диагонали пересекаются в одной точке (центре куба) и ортогональны друг другу, поэтому ортогональны заданной $2^{n-1}-1$ других.
(б) Две диагонали могут быть ортогональны только если они лежат в ортогональных гранях (гиперплоскостях), но все главные диагонали куба лежат внутри него и не лежат на внешних гранях, поэтому ответ $0$.

Подскажите, где я ошибаюсь и как следует рассуждать?

[Brukvalub]

Hasek в сообщении #1144249 писал(а):

Назовём диагональ куба главной, если она соединяет противоположные вершины.

Какие вершины куба называются противоположными?

[Hasek]

Brukvalub в сообщении #1144256 писал(а):

Какие вершины куба называются противоположными?

У меня есть формулировка задачи именно в таком виде, ничего не утаил.

Как я понимаю, противоположные -- как минимум не соединённые рёбрами, не лежащие в одной грани и максимально удалённые друг от друга. Интуитивно вполне понятно, о чём речь, но формализовать затрудняюсь. Например, в квадрате две пары таких вершин, в трёхмерном кубе четыре.

[ewert]

Hasek в сообщении #1144263 писал(а):

как минимум не соединённые рёбрами, не лежащие в одной грани

Диагонали если соединяются, то не "рёбрами", а вершинами. А если они соединяются вершиной, то как минимум одна из них лежит -- где?...

Вообще призадумайтесь для начала: какие координаты могут быть у диагоналей?

[INGELRII]

Hasek в сообщении #1144249 писал(а):

В силу симметрии куба все главные диагонали пересекаются в одной точке (центре куба) и ортогональны друг другу,

Seriously?! Вы хотя бы на трехмерный куб посмотрите. Сами же говорите, там четыре диагонали, и прям все попарно ортогональны? В трехмерном пространстве?

Что до определения понятия "главная диагональ", опять же неясно, в чем такая непомерная трудность его описАть. У куба есть центр симметрии. Главная диагональ есть та, что соединяет вершины, симметричные относительно него.

[Brukvalub]

Hasek в сообщении #1144263 писал(а):

У меня есть формулировка задачи именно в таком виде, ничего не утаил.

Для начала, рассмотрите $3$-хмерный куб с вершинами $ (0 ; 0 ; 0), (0 ; 0 ; 1)\ldots (1 ; 1 ; 1)$ и попробуйте обнаружить, как связаны координаты пар его противоположных вершин.

[Hasek]

Понял, что при нечётной размерности ортогональных главных диагоналей нет вообще. Вершина куба в качестве своих координат имеет $0$ либо $1$, соответственно, рассматривая диагонали как векторы (вычитаем из координат конечной точки координаты начальной, конечную и начальную определяем произвольно) получаем векторы с нечётным числом единиц в координатах (точнее $x_i = \pm 1$). Скалярное произведение нулю равняться не может. Как посчитать для чётной размерности пока не понимаю.

[Brukvalub]

Еще раз:

Brukvalub в сообщении #1144271 писал(а):

как связаны координаты пар его противоположных вершин.

?

[Hasek]

ewert в сообщении #1144267 писал(а):

Диагонали если соединяются, то не "рёбрами", а вершинами. А если они соединяются вершиной, то как минимум одна из них лежит -- где?...

В том предложении речь про вершины. Если диагонали соединяются вершиной, то как минимум одна из них лежит в грани.

ewert в сообщении #1144267 писал(а):

Вообще призадумайтесь для начала: какие координаты могут быть у диагоналей?

$x_i = \pm 1$

INGELRII в сообщении #1144269 писал(а):

Seriously?! Вы хотя бы на трехмерный куб посмотрите. Сами же говорите, там четыре диагонали, и прям все попарно ортогональны? В трехмерном пространстве?

Я поторопился. Это неправда, конечно.

INGELRII в сообщении #1144269 писал(а):

Что до определения понятия "главная диагональ", опять же неясно, в чем такая непомерная трудность его описАть. У куба есть центр симметрии. Главная диагональ есть та, что соединяет вершины, симметричные относительно него.

Да, Ваше определение точное и понятное.

Brukvalub в сообщении #1144271 писал(а):

Для начала, рассмотрите $3$-хмерный куб с вершинами $ (0 ; 0 ; 0), (0 ; 0 ; 1)\ldots (1 ; 1 ; 1)$ и попробуйте обнаружить, как связаны координаты пар его противоположных вершин.

Сумма соответствующих координат равна $1$ для единичного куба.

[Brukvalub]

Hasek в сообщении #1144314 писал(а):

Сумма соответствующих координат равна $1$ для единичного куба.

Верно. Рекомендую отталкиваться от этого свойства.

[ewert]

Hasek в сообщении #1144314 писал(а):

$x_i = \pm 1$

Вот про нечётный случай Вы уже поняли. А про чётный -- гуглите про количество сочетаний из по.

С маломерной гранью -- ровно то же (ну плюс ещё множитель).

-- Вт авг 16, 2016 01:07:56 --

Hasek в сообщении #1144314 писал(а):

$x_i = \pm 1$

Уточним. Я вообще-то спрашивал про все возможные диагонали, и уж во вторую очередь -- про главные...