Итерационный метод решения матрицы с нулевой диагональю

[Alex345]

Есть матрица $A $с нулевой диагональю. Остальные элементы $a_{ij}$ в явном виде недоступны. Доступно только само линейное преобразование $A $целиком: $Ax=b$, т.е. для любого $x$ я могу вычислить $b$.
Я пытался решить систему методом итераций $x_{k+1}=x_{k}-\tau (Ax_k-b)$, но он расходится.
Я сильно подозреваю, что проблема именно в нулевой диагонали, т.к. в связи с этим невозможно выполнить условие $\left\|E-\tau A\right\|<1$.
Существуют ли какие либо численные методы, позволяющие решить такую систему, но при этом не требующие доступа к коэффициентам $a_{ij}$?

[Someone]

А в чём проблема найти элементы матрицы $A$? Если уж Вы по вектору $x$ можете вычислить вектор $b$.

[Евгений Машеров]

А что-то ещё о матрице известно? Если, скажем, симметрична - метод сопряжённых элементов (для несимметричной есть метод бисопряжённых элементов, но он вроде неустойчив, есть "стабилизированный", но я с ним не работал, так что только ссылку:
https://en.wikipedia.org/wiki/Biconjuga ... zed_method

[Someone]

Alex345 в сообщении #1144186 писал(а):

Есть матрица $A $с нулевой диагональю. Остальные элементы $a_{ij}$ в явном виде недоступны. Доступно только само линейное преобразование $A $целиком: $Ax=b$, т.е. для любого $x$ я могу вычислить $b$.

Так ежели по произвольно заданному $x$ можно вычислить $b=Ax$, то матрица $A$ мгновенно определяется. И полная информация о ней будет.

[Евгений Машеров]

Ну, матрица может быть великовата. И итеративный процесс ради этого предпочтён.

[Brukvalub]

Alex345 в сообщении #1144186 писал(а):

Существуют ли какие либо численные методы, позволяющие решить такую систему

Какую систему? Все кинулись обсуждать задачу так, словно из исходного топика ясно, какая система решается. Выходит, один я такой глупОй, что системы не увидел и не понимаю, однородная хоть она, или нет?

[Евгений Машеров]

Судя по наличию $b$ - неоднородная.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

извините, если вдруг окажется, что дар телепатии мне продал не Вольф Мессинг, а Остап Бендер, вместо астролябии

Как мне видится, есть задача $Ax=b$, при этом матрица A весьма велика, но при этом разрежена, так что выписывать её явно и решать общим алгоритмом нецелесообразно. Причём разреженность "кружевная", в том смысле, что рассматривать как ленточную, даже с перестановкой строк и столбцов, не получится. Зато можно для любого $z$ вычислить $p=Az$ (ну, скажем, для всякой строки А имеется списковая структура, включающая индекс ненулевого коэффициента и коэффициент, причём число ненулевых коэффициентов $m\ll n$)
Это делает целесообразным итеративное решение, но хотелось бы что-то знать о свойствах матрицы. Симметричная - работают сопряжённые градиенты, несимметричная - есть вариант этого метода, но ничего о нём не скажу, описание доступно, свойств не знаю.