Вопросы об интервалах

[doom701]

Я тоже не понял почему интервал инвариантен. В этой книге ЛЛ мне не понятно почему. Есть ли такая книга, где бы это разъяснялось попроще?

[doom701]

Можно ли считать, что интервал это расстояние между двумя точками в Псевдоевклидовой геометрии? Тогда легче было бы понять, почему он инвариантен.
При движении сохраняются расстояния между точками. Следовательно сохраняется и интервал.
Нашел тут
http://www.pm298.ru/psevdo12.php

[Pphantom]

doom701, предупреждение за хроническую любовь задавать свои вопросы в чужих темах.

[Metford]

doom701 в сообщении #1142916 писал(а):

Я тоже не понял почему интервал инвариантен

А Вы возьмите преобразования Лоренца - хоть из того же второго тома Ландау - и руками проверьте, что интервал не меняется.

(Оффтоп)

Только если я правильно помню тему, из которой выделен вопрос, там автора интересовало несколько другое.

doom701 в сообщении #1144007 писал(а):

Можно ли считать, что интервал это расстояние между двумя точками в Псевдоевклидовой геометрии?

Метрика так вводится в пространстве Минковского $g_{ik}=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)$. Вычисляете квадрат 4-вектора $x^{\mu}$ - получаете как раз $(x^0)^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2$, а преобразования Лоренца определяются как сохраняющие такую величину. Правда, это получается более широкий класс преобразований, чем выписано в первых параграфах ЛЛ-2.

[warlock66613]

doom701, да, интервал — это расстояние между двумя точками в псевдоевклидовой геометрии. (Только обратите внимание. что в учебнике по ссылке рассматривается трёхмерное псевдоевклидово пространство, а псевдоевклидово пространство СТО четырёхмерно.)

Правда расстояние в псевдоевклидовой геометрии (интервал) — более сложный объект, чем расстояние в евклидовой геометрии. Так, расстоние в евклидовой геометрии — это просто действительное число, причём ненулевое (кроме случая, когда точки совпадают). Интервал же может быть нулевым (для несовпадающих точек), такой интервал ещё называют светоподобным. Ненулевой интервал может быть одного из двух типов — времениподобным (действительным, так что квадрат его положителен) или пространственноподобным (чисто мнимым, так что квадрат интервала отрицателен).

"Мнимость" пространственноподобного интервала — по сути просто условность, позволющая отличать его от времениподобного. Если выбрать альтернативное определение интервала $s^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2 - ((ct_2) - (ct_1))^2$, то, наоборот, действительным будет пространственноподобный интервал, а времениподобный будет чисто мнимым.

Сложная структура интервала связана с неизотропностью псевдоевклидова пространства, то есть наличием выделенных направлений.

[doom701]

Доказательство инвариантности интервала через преобразования Лоренца я прочитал. Но разве сами они не выводятся на основании того, что интервал не меняется при смене ИСО?
А можно ли так предполагать
Пространство время лучше всего определяется геометрией Минковского.
В этой геометрии при движении расстояния между точками не меняются, как и в обычной геометрии, а раз интервал это расстояние то и он не меняется тоже?

[Metford]

doom701 в сообщении #1144051 писал(а):

Но разве сами они не выводятся на основании того, что интервал не меняется при смене ИСО?

Ну, изначально всё-таки преобразования Лоренца были выведены первыми, насколько я понимаю. Потом оказалось, что это влечёт за собой специфическую геометрию пространства-времени. А сейчас, как уже выше говорилось, за основу принимается пространство Минковского, а преобразования Лоренца вводятся как преобразования, сохраняющие интервал. Т.е., действительно, расстояние между точками этого пространства с такой метрикой. Дальше идёт вывод преобразований, классификация и т.д.

doom701 в сообщении #1144051 писал(а):

Пространство время лучше всего определяется геометрией Минковского.

"Лучше всего" - как-то нехорошо звучит. Согласуется с экспериментом или нет - это важно.

doom701 в сообщении #1144051 писал(а):

В этой геометрии при движении расстояния между точками не меняются, как и в обычной геометрии, а раз интервал это расстояние то и он не меняется тоже?

А это уже не к теории относительности. Движения по определению не меняют расстояния между точками. То, как вычисляется расстояние, зависит от введённой метрики. Какую метрику введёте - такой вид расстояния и получите. Постулировать метрику можно достаточно свободно: там не слишком обременительные требования - другое дело, будет ли это какое-то отношение к реальности иметь. Пространство Минковского - имеет отношение к реальности непосредственное.

[AnatolyBa]

У ЛЛ инвариантность интервала доказывается очень по теорфизически. Все-таки стоит познакомиться, как это делается иначе - например по книге Тейлора и Уиллера (этот учебник постоянно упоминается)

[doom701]

Из ЛЛ понял как доказывается нулевой интервал. Дальше там вводятся бесконечно малые интервалы, которые пропорциональны для разных ИСО. Почему так, я не понял. Дальше вводятся функции связи между интервалами в трех ИСО, которые зависят от их относительных скоростей, а потом доказывается что они равны 1. И тогда интервалы равны между собой если бесконечно малые равны. Это момент мне непонятен.
А геометрически, например построением, нельзя доказать равенство интервалов?

[Metford]

doom701 в сообщении #1144090 писал(а):

Дальше там вводятся бесконечно малые интервалы, которые пропорциональны для разных ИСО. Почему так, я не понял.

Они должны иметь один порядок малости (тут совсем недавно это обсуждалось). Поэтому более высокие степени малости можно отбросить, а других слагаемых быть не может.

doom701 в сообщении #1144090 писал(а):

И тогда интервалы равны между собой если бесконечно малые равны. Это момент мне непонятен.

Грубо говоря, если все маленькие кусочки одинаковы, то с чего бы целому отличаться?..

doom701 в сообщении #1144090 писал(а):

А геометрически, например построением, нельзя доказать равенство интервалов?

Построением каким? В четырёхмерном пространстве?

[doom701]

А частный случай рассмотреть? Движение вдоль одной оси.
Почему должны иметь одинаковый порядок малости. И почему коэф.пропорциональности 1. Именно это непонятно. Дальше понятно доказательство.

[Metford]

doom701 в сообщении #1144096 писал(а):

Почему должны иметь одинаковый порядок малости.

Загляните вот сюда.

doom701 в сообщении #1144096 писал(а):

И почему коэф.пропорциональности 1

Пойдём прямо по тексту. Обозначения не расшифровываю: одной книгой пользуемся... Первое утверждение: коэффициент $a$ зависит только от скорости $V$, но не от её направления (равноправие всех направлений). Второе утверждение: имеется связь коэффициентов $a$ из связи трёх ИСО - формула (2.5). При этом относительная скорость $V_{12}$ зависит от взаимного направления скоростей $V_1$ и $V_2$. Это значит, что коэффициент $a(V_{12})$ точно зависит не только от модуля относительной скорости (так как получен из коэффициентов, относящихся к первым двум скоростям), что противоречит сделанному раньше предположению о его аргументе. Вывод: коэффициент $a$ вообще ни от чего не зависит, т.е. постоянен. Раз так, то отношение слева в (2.5) равно единице. Поэтому и коэффициент справа равен единице.

[doom701]

Понятно, что коэфф не может и зависеть и не зависеть от направления скорости.
Но почему тогда следует вывод о его постоянстве. Потому что ИСО различаются только скоростями, а они не влияют на его значение (если влияют то противоречие).
А раз больше он ни от чего зависеть не может тогда он постоянный?

[AnatolyBa]

Несколько похожее по духу на ЛЛ, но более подробное рассуждение есть у Джексона (классическая электродинамика).
Но Джексон берет в качестве исходной посылки требование линейности преобразования (из-за однородности и изотропности пространства-времени) и рассматривает сразу конечные интервалы. Почитайте. Глава 11, параграф 2.

[Metford]

doom701 в сообщении #1144106 писал(а):

Потому что ИСО различаются только скоростями, а они не влияют на его значение (если влияют то противоречие).
А раз больше он ни от чего зависеть не может тогда он постоянный?

В общем, логика примерно такая. И она не один раз ещё Вам встретится.

AnatolyBa в сообщении #1144117 писал(а):

Несколько похожее по духу на ЛЛ, но более подробное рассуждение есть у Джексона

Я подумал об этой книге, но советовать её в этом контексте не стал, подумал что Ландау вполне хватит. Но две книги посмотреть лишним не будет Тем более, две такие книги.