Линейная (не)зависимость функций

[Atom001]

Я что-то запутался с тем, как установить линейную (не)зависимость функций.
Пусть даны три функции $y_1(x)=1, y_2(x)=x, y_3(x)=x^2$
Очевидно, что они линейно независимы на $\mathbb{R}$. Чтобы доказать это, можно найти вронскиан для данных функций и убедиться, что он не равен нулю.

$$W(y_1,y_2,y_2)=\begin{vmatrix} 1&x&x^2 \\ 0&1&2x \\ 0&0&2 \end{vmatrix}=2\ne 0$$

Однако... В выражении $a_1\cdot 1+a_2\cdot x+a_3\cdot x^2=0$ можно подобрать такие коэффициенты, что получится квадратное уравнение с действительными решениями. А это значит, что существуют ненулевые коэффициенты, при которых линейная комбинация указанных функций обращается в ноль.
Дак что же, функции тогда линейно зависимы?! Бред, конечно. Но я не могу найти то место, которое этот бред образует.

[Otta]

А Вы б определение написали точно, Вам бы и полегчало, может быть.

[Atom001]

Otta
Линейно (не)зависимых функций?

[Otta]

Ну а чего ж еще.

[Atom001]

Функции $y_1(x),y_2(x),y_3(x),…,y_n(x)$ называются линейно зависимыми на некотором множестве $T$, если существуют такие константы $a_1,a_2,a_3,…,a_n$, что $\color{red}\bf \forall x \in T$ выполняется следующее равенство: $a_1\cdot y_1+a_2\cdot y_2+\cdot \cdot \cdot +a_n\cdot y_n=0$ при условии, что хотя бы одна из констант не равна нулю.

Otta, спасибо!

[Otta]

Да пожалуйста.

(Оффтоп)

В качестве бонуса сообщаю, что если экзаменатор достаточно бодр или достаточно въедлив, то за запись

Atom001 в сообщении #1143836 писал(а):

$\color{red}\bf \forall x \in T$ выполняется следующее равенство: $a_1\cdot y_1+a_2\cdot y_2+\cdot \cdot \cdot +a_n\cdot y_n=0$

Вы можете понести ущерб разной степени тяжести ))
Ну если уж пишете для любого икс, то дальше-то икс тоже должон быть. Иначе - что для любого?
Короче, используя такой вид определения, аргументы не надо опускать.

[Atom001]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #1143842 писал(а):

В качестве бонуса сообщаю

Спасибо, учту.

[Someone]

(Оффтоп)

А за использование красного цвета можно понести ущерб от модератора…