Задачи о линейных пространствах

[Atom001]

1.

Цитата:

Образует ли линейное пространство множество $n$-векторов, первая компонента которых является целым числом?

Нет. Потому как существуют такие действительные числа (например, $\sqrt{2}$), при умножении на которые любой заданный вектор выйдет за пределы установленного множества. Множество не замкнуто. Следовательно оно не образует линейного пространства.
В пособии ответ: образует. Опечатка?

2.

Цитата:

Образует ли линейное пространство совокупность многочленов, степень которых равна $n$?

В пособии указано, что нет. Почему? Какие бы два многочлена не складывались, всегда получается новый многочлен, у которого новые коэффициенты. Коэффициенты могут быть любые по условию. При умножении на любое действительное число получается опять новый многочлен с новыми коэффициентами. Получается, что никогда операции сложения и умножения не возвратят результат, выходящий за пределы указанного множества. Опять опечатка?

3.
Что такое сумма двух подпространств некоторого пространства?
Утверждается, что $L_1+L_2=\{\vec{v}\in V: \vec{v}=\vec{v_1}+\vec{v_2}, \vec{v_1}\in L_1, \vec{v_2}\in L_2\}$, где $L_1$ и $L_2$ - подпространства линейного пространства $V$. Какие именно вектора складываются? Например, взяли любой вектор из $L_1$. Какой к нему нужно прибавить вектор из $L_2$?

[ex-math]

1. Опечатка.
2. А если вычесть многочлен сам из себя, какой степени будет результат?
3. Всевозможные суммы.

[Mikhail_K]

1. Вы правы, здесь опечатка. Ну, если рассматриваются пространства над полем $\mathbb{R}$.

Цитата:

Множество не замкнуто.

Странная фраза. Надо бы что-нибудь типа "множество не замкнуто относительно операции умножения на произвольный скаляр".
2. Опечатки нет. Приведите определение многочлена степени $n$.
3. Сумма двух подпространств состоит из тех и только тех точек, которые можно представить в виде суммы двух векторов, по одному из каждого подпространства.
Другими словами, можно взять произвольный вектор из первого подпространства, произвольный вектор из второго подпространства, сложить их и получится вектор из искомой суммы. Таким образом можно получить любой вектор из искомой суммы.

[Atom001]

Mikhail_K в сообщении #1143407 писал(а):

Странная фраза. Надо бы что-нибудь типа "множество не замкнуто относительно операции умножения на произвольный скаляр".

Понял. Буду формулировать правильно.

Mikhail_K в сообщении #1143407 писал(а):

Приведите определение многочлена степени $n$.

Это выражение вида $a_0+a_1x+\cdot\cdot\cdot+a_n x^n$. И если

ex-math в сообщении #1143406 писал(а):

вычесть многочлен сам из себя

, то получится вырожденный многочлен степени $n$ вида $0+0\cdot x+\cdot\cdot\cdot+0\cdot x^n$, который лежит в множестве всех многочленов степени $n$.

ex-math в сообщении #1143406 писал(а):

3. Всевозможные суммы.

Ясно.

[warlock66613]

Atom001 в сообщении #1143413 писал(а):

Это выражение вида $a_0+a_1x+\cdot\cdot\cdot+a_n x^n$.

Не знаю, где вы такое странное определение откопали, оно точно не общепринятое. Обычно многочленом степени $n$ называют многочлен, степень которого равна $n$.

[mihaild]

Atom001 в сообщении #1143413 писал(а):

Это выражение вида $a_0+a_1x+\cdot\cdot\cdot+a_n x^n$.

Обычно требуют $a_n \neq 0$. Иначе у вас либо получается, что один и тот же многочлен может быть сразу нескольких степеней, или $0 + 0\cdot x \neq 0$.

[Atom001]

mihaild в сообщении #1143416 писал(а):

Обычно требуют $a_n \neq 0$. Иначе у вас либо получается, что один и тот же многочлен может быть сразу нескольких степеней, или $0 + 0\cdot x \neq 0$.

Логично. Я это упустил.

Всем спасибо!

[ewert]

warlock66613 в сообщении #1143415 писал(а):

Не знаю, где вы такое странное определение откопали, оно точно не общепринятое. Обычно многочленом степени $n$ называют многочлен, степень которого равна $n$.

Это не совсем так. Очень часто под этим понимают "степени не выше $n$". Поскольку постоянно дундеть "не выше" -- несколько назойливо. И уточняют лишь в сомнительных случаях.

Так что тут не опечатка, а лишь небрежность. Тут как раз следовало уточнить и сказать не просто "степени $n$", а выбрать одно из двух: либо "степени не выше $n$", либо "степени, равной $n$"

[arseniiv]

Или авторы позволили себе быть абсолютно последовательными в этом вопросе, и никакой небрежности нет. Без знания учебника/задачника сказать нельзя.

[Atom001]

arseniiv в сообщении #1143468 писал(а):

авторы позволили себе быть абсолютно последовательными

Именно так. Сначала разбирался пример с многочленами степени не выше $n$, а потом уже была дана эта задача.

P.S. Тензорное исчисление. Акивис, Гольдберг.

[Atom001]

Теперь я немного запутался с подпространствами.
Даны векторы:

$$\vec{a}_1=\{1,1,1,1\}$$

$$\vec{a}_2=\{1,-1,1,-1\}$$

$$\vec{a}_3=\{1,3,1,3\}$$

$$\vec{b}_1=\{1,2,0,2\}$$

$$\vec{b}_2=\{1,2,1,2\}$$

$$\vec{b}_3=\{3,1,3,1\}$$

Нужно найти размерность и базис суммы подпространств, задающихся одно векторами $a$, а второе - векторами $b$.
Составляю матрицу $(A|B)$ и привожу её к ступенчатому виду:

$$\begin{pmatrix} 1&1&1& \vline &1&1&3 \\ 1&-1&3& \vline &2&2&1 \\ 1&1&1& \vline &0&1&3 \\ 1&-1&3& \vline &2&2&1 \\ \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&1&1& \vline &1&1&3 \\ 0&-2&2& \vline &1&1&-2 \\ 0&0&4& \vline &2&2&-4 \\ 0&0&0& \vline &-1&0&0 \\ \end{pmatrix} $$

$rang(A|B)=4$, векторы $a_1$, $a_2$, $a_3$, $b_1$ линейно независимы, значит $\dim (A+B) = 4$, а базис состоит из перечисленных четырёх векторов.

В учебнике написано, что $\dim (A+B) = 3$. Это снова опечатка?

[Xaositect]

У Вас ошибки в арифметике. Векторы $a_1,a_2,a_3$ линейно зависимы, в левой части приведенной матрицы вместо четверки должен быть 0.

[Atom001]

Xaositect
Я вообще не понимаю, как я так насчитал. Спасибо!