Уравнение в натуральных числах

[Ktina]

Решите в натуральных числах уравнение

$$14^n-3^m=2015$$

(Саудовская Аравия, предварительный отбор кандидатов в команду, 2015)

Попытка:

При $n=1$ и $n=2$ левая часть меньше правой.
При $n=3$ имеем единственное решение: $n=3, m=6$.
При $n>3$ значение выражения $14^n$ будет кратно 16, а это означает, что $m$ должно делиться на 4.
Но тогда $3^m$ будет оканчиваться на единичку, а их этого следует, что $14^n$ должно оканчиваться на 6.
Но тогда $n$ - чётно, а это означает, что $14^n$ даёт остаток 1 при делении на 3, из чего следует, что решений нет, поскольку 2015 даёт остаток 2 при делении на 3.

Где у меня ошибка? Почему авторское решение совершенно непохоже на моё?
Вот авторское:



Пожалуйста, помогите решить!
Заранее спасибо!

[NSKuber]

Ktina в сообщении #1143331 писал(а):

Где у меня ошибка?

В суждении, что отличное от авторского решение верным быть не может
Всё у вас верно (насчёт автора - не знаю, не вчитывался).

[warlock66613]

А почему в авторском решении утверждается, что $3^m$ должно давать остаток $6$ при делении на $7$, разве не должен быть остаток $1$?

[Ktina]

NSKuber
Большое спасибо!

warlock66613
Вы правы. Алямаябду, там опечатка. Либо имелось в виду $-3^m$, а не $3^m$

[Shadow]

Ktina в сообщении #1143350 писал(а):

Вы правы. Алямаябду, там опечатка. Либо имелось в виду $-3^m$, а не $3^m$

Нет, там ошибка. $3^m \equiv 1 \pmod 7 \Rightarrow 6\mid m$
А у них $3\mid m$. Дальнейшие рассуждения все равно проходят.
Ваше верное...и попроще - по модулям 16, 5 и 3.

[Ktina]

Shadow
И Вам большое спасибо!