2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Дифференцирования сложной функции
Сообщение08.08.2016, 20:13 
Допустим, есть функция $f\left( {x,y} \right)$, где $x\left( {\xi ,\eta } \right)$ и $y\left( {\xi ,\eta } \right)$ физические координаты, а $\xi$ и $\eta$ натуральные координаты.
Для того, чтобы найти первую частичную производную $\frac{{\partial f\left( {x,y} \right)}}{{\partial \xi }}$, я использую правило дифференцирования сложной функции
$$\frac{{\partial f\left( {x,y} \right)}}{{\partial \xi }} = \frac{{\partial x}}{{\partial \xi }}\frac{{\partial f}}{{\partial x}} + \frac{{\partial y}}{{\partial \xi }}\frac{{\partial f}}{{\partial y}}$$
Аналогично, для нахождения второй частичной производной
$$\frac{{{\partial ^2}f\left( {x,y} \right)}}{{\partial {\xi ^2}}} = \frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{\partial x}}{{\partial \xi }}\frac{{\partial f}}{{\partial x}} + \frac{{\partial y}}{{\partial \xi }}\frac{{\partial f}}{{\partial y}}} \right) = $$$$ = \frac{{{\partial ^2}x}}{{\partial {\xi ^2}}}\frac{{\partial f}}{{\partial x}} + \frac{{\partial x}}{{\partial \xi }}\left( {\frac{{\partial x}}{{\partial \xi }}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{\partial y}}{{\partial \xi }}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}}} \right) + \frac{{{\partial ^2}y}}{{\partial {\xi ^2}}}\frac{{\partial f}}{{\partial y}} + \frac{{\partial y}}{{\partial \xi }}\left( {\frac{{\partial x}}{{\partial \xi }}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}} + \frac{{\partial y}}{{\partial \xi }}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {y^2}}}} \right)$$
Но вот при нахождении третьей производной у меня возникают проблемы. Не могли бы вы подсказать, чему она будет равняться:
$$\frac{{{\partial ^3}f\left( {x,y} \right)}}{{\partial {\xi ^3}}} = \frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{\partial x}}{{\partial \xi }}\frac{{\partial f}}{{\partial x}} + \frac{{\partial y}}{{\partial \xi }}\frac{{\partial f}}{{\partial y}}} \right)} \right) = \cdots$$
Спасибо заранее.

 
 
 
 Re: Дифференцирования сложной функции
Сообщение08.08.2016, 20:53 
dustmade
Какие проблемы? Считать вы вроде бы умеете, дальше всё так же.

Если не хотите считать, попробуйте занять этим кого-нибудь другого, например компьютер.

 
 
 
 Re: Дифференцирования сложной функции
Сообщение08.08.2016, 21:58 
Slav-27
да, я посчитал самостоятельно, однако мой куратор выразил недоверие результатам, так что считать я как раз не умею :lol: . Если быть более точным, то проблема возникла вот на этом участке
$$\frac{{{\partial ^3}f\left( {x,y} \right)}}{{\partial {\xi ^3}}} & = \frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial \xi }}} \right)} \right) = \frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{\partial x}}{{\partial \xi }}\frac{{\partial f}}{{\partial x}} + \frac{{\partial y}}{{\partial \xi }}\frac{{\partial f}}{{\partial y}}} \right)} \right) $$$$ = \frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{{\partial ^2}x}}{{\partial {\xi ^2}}}\frac{{\partial f}}{{\partial x}} + \frac{{\partial x}}{{\partial \xi }}\frac{{\partial x}}{{\partial \xi }}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}y}}{{\partial {\xi ^2}}}\frac{{\partial f}}{{\partial y}} + \frac{{\partial y}}{{\partial \xi }}\frac{{\partial y}}{{\partial \xi }}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {y^2}}} + 2\frac{{\partial y}}{{\partial \xi }}\frac{{\partial x}}{{\partial \xi }}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}}} \right)$$
а именно в $\frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}} \right)$, $\frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {y^2}}}} \right)$ и $\frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x}}{\partial {y}}}} \right)$, которые прийдется считать во второй строчке.

Я понимаю, что расчет всей третьей производной слишком громоздкий, однако не могли бы вы мне помочь именно с этими небольшими кусками? Достаточно одного $\frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}} \right)$, чтобы я смог сделать все дальше сам.

 
 
 
 Re: Дифференцирования сложной функции
Сообщение08.08.2016, 22:03 
Приведите, пожалуйста, собственные попытки вычисления. Например, $\frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}} \right)$, $\frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {y^2}}}} \right)$ и $\frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x}}{\partial {y}}}} \right)$. Любого на выбор.

 
 
 
 Re: Дифференцирования сложной функции
Сообщение08.08.2016, 22:14 
Lia
это можно
$$\frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}} \right) = \frac{{\partial x}}{{\partial \xi }}\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}} \right) + \frac{{\partial y}}{{\partial \xi }}\frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}} \right) = \frac{{\partial x}}{{\partial \xi }}\frac{{{\partial ^3}f}}{{\partial {x^3}}} + \frac{{\partial y}}{{\partial \xi }}\frac{{{\partial ^3}f}}{{\partial {x^2}\partial y}}$$
Вот что у меня получается.

 
 
 
 Re: Дифференцирования сложной функции
Сообщение08.08.2016, 22:19 
Так и должно быть.

-- Вт авг 09, 2016 00:24:29 --

Хотя, конечно, если функция $f$ не очень хорошая, может быть$$\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial^2}{\partial x^2}f\ne\frac{\partial^2}{\partial x^2}\frac{\partial}{\partial y}f,$$так что последнее слагаемое у вас могут счесть неправильным.

 
 
 
 Re: Дифференцирования сложной функции
Сообщение08.08.2016, 22:31 
arseniiv
функция у меня на основе кривой неоднородного рационального B-сплайна (NURBS) второго порядка. $\frac{{{\partial ^3}f}}{{\partial {x^3}}}$ и $\frac{{{\partial ^3}f}}{{\partial {y^3}}}$ в моем случае равняются нулю, а вот смешанные производные как раз нулю не равняются $\frac{{{\partial ^3}f}}{{\partial {x^2}\partial y}} \ne 0$, $\frac{{{\partial ^3}f}}{{\partial {x}\partial y^2}} \ne 0$.

 
 
 
 Re: Дифференцирования сложной функции
Сообщение08.08.2016, 22:38 
Аватара пользователя
dustmade, имелось в виду, что порядок дифференцирования может иметь значение.

 
 
 
 Re: Дифференцирования сложной функции
Сообщение08.08.2016, 22:42 
Значит вот так было бы более правильно?
$$\frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}} \right) = \frac{{\partial x}}{{\partial \xi }}\frac{{{\partial ^3}f}}{{\partial {x^3}}} + \frac{{\partial y}}{{\partial \xi }}\frac{\partial }{{\partial y}}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}$$

 
 
 
 Re: Дифференцирования сложной функции
Сообщение09.08.2016, 09:50 
dustmade
Смотря какой порядок гладкости $f=f(x,y)$. Обычно она достаточно гладкая, чтобы смешанные производные были равными, иначе они могут не совпасть уже на этапе вычисления второй производной. Я не думаю, что функция у Вас с потолка. Какая-то информация про нее есть. Типа дважды (трижды) непрерывно дифференцируема или еще более высокий порядок гладкости.

Вполне возможно, что Вы просто при дальнейшем вычислении ошиблись, там много слагаемых. Если ошиблись вообще.
Положите результат, будет, по крайней мере, на что смотреть.

 
 
 
 Re: Дифференцирования сложной функции
Сообщение09.08.2016, 22:01 
Otta
функция второго порядка $p = 2$, а гладкость выходит ${C^{1}}$.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group