Задачи по анализу (часть 2)

[Hasek]

Цитата:

Задача 1: Пусть $A$ и $B$ -- матрицы $n \times n$. Найдите смешанную производную $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ матрично-значной функции $f(x,y) = \exp(xA + yB)$ при $x=y=0$. (Производные функций со значениями в матрицах определяются точно так же, как производные числовых функций.)

Решение: Так как $e^A = \mbox{\textit{E}} + \frac{A}{1!} + \frac{A^2}{2!} + \ldots$, то

$$f(x,y) = \mbox{\textit{E}} + (A \cdot e^{xA+yB} + B \cdot e^{xA+yB}) + \frac{1}{2}(A^2 \cdot e^{xA+yB} + AB \cdot e^{xA+yB} + BA \cdot e^{xA+yB} + B^2 \cdot e^{xA+yB}) + \ldots,$$

откуда $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = AB$.

Цитата:

Задача 2: Функция $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ дифференцируема почти всюду (в смысле меры Лебега), и почти всюду $f'(x) = 1$. Следует ли отсюда, что $f(1) - f(0) = 1?$ Если да, докажите. Если нет, приведите контрпример.

Решение: Нет, не следует. Контрпример:

$$f(x) = \begin{cases} x, ~x \in \mathbb{R} \setminus 0,1\\ 5, ~x = 0\\ 15, ~x = 1 \end{cases}$$

Цитата:

Задача 3: Существуют ли гладкие функции $f_1, f_2, f_3 \colon \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}$, такие, что множество

$$X = \{ x \in \mathbb{R}^5 | f_1(x) = f_2(x) = f_3(x) = 0 \}$$

гомеоморфно вещественной проективной плоскости, и при этом в каждой точке множества $X$ дифференциалы функций $f_1, f_2, f_3$ линейно независимы?

К сожалению, идей особо нет. Может быть должно играть свою роль то, что $\mathbb{R}P^2$ двумерная, а мы интересуемся линейной независимостью дифференциалов трёх функций, но это так, мысли вслух.

Цитата:

Задача 4: Вычислите интеграл $\int \max(x_1,\ldots,x_n) dx_1 dx_2 \ldots dx_n$ по кубу $0 \le x_i \le 1, ~i = 1, \ldots, n$.

Решение: Сомневаюсь, но

$$\int \max(x_1,\ldots,x_n) dx_1 dx_2 \ldots dx_n = \int \max x_1 dx_1 \int \max (x_2,\ldots,x_n) dx_2 \ldots dx_n = \ldots = 1$$

Цитата:

Задача 5: Пусть $q\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ -- положительно определённая квадратичная форма на $\mathbb{R}^n$: $q(x) = \sum\limits_{i=1}^n a_{ij} x_i x_j, ~a_{ij} = a_{ji}$. Вычислите интеграл $\int\limits_{\mathbb{R}^n} \exp(-q(x_1,\ldots,x_n)) dx_1 \ldots dx_n$.

Не справился. Положительная определённость требуется чтобы знаменатель подынтегральной функции не обращался в ноль.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Те же, что и в предыдущей теме.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.