Гамильтонова система

[scwec]

На $\mathbb{R}^4$ с координатами $q_i,p_i, i=1,2$ задана гамильтонова система
$\dot q_i=\dfrac{\partial{H}}{\partial{p_i}}, \dot p_i=-\dfrac{\partial{H}}{\partial{q_i}}\qquad(1)$
Гамильтониан $H(q_1,q_2,p_1,p_2)=F(p_1,p_2)+G(q_1,q_2)$, где $F$ - однородная функция степени $n$,
$G$ - однородная функция степени $(-n)$, $n$ целое число. Все функции гладкие в области своего определения.
Докажите, что:
при $n\ne{0}$ система $(1)$ интегрируется в квадратурах на гиперповерхности $H=0$;
при $n=0$ система $(1)$ интегрируется в квадратурах на $\mathbb{R}^4$;
при любом целом $n$ у системы $(1)$ нет изолированных периодических траекторий.

[scwec]

Подсказка.
Обозначим $V=\Sigma{p_i{q_i}}$ и воспользуемся тем, что скобка Пуассона $\{H,V\}=nH$.
Далее рассмотрим два множества - на первом $V,H$ независимы, на втором - зависимы.