Фактор-группа, многочлены.

[alf1234]

Помогите, пожалуйста, разобраться.

Найти в $\mathbb{Z}/\mathbb{Z}[2]$ многочлен, равный $\text{НОД}(P, x^2+x-2)$, если $P(x)=(x^2-1)^2(x^3+1)(x^4-1)$

Для начала, найдем $\text{НОД}(P, x^2+x-2)$.

Ясно, что $x^2+x-2=(x-1)(x-2)$, при этом $P(x)$ имеет лишь делитель $x-1$, потому $\text{НОД}(P, x^2+x-2)=x-1$

В кольце вычетов по модулю два $P(x)$ не имеет множителей, сравнимых с $x-2$.

Дальше не понимаю -- что делать?

[Sonic86]

Упростите $x^2+x-2$ в указанном кольце ($=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\mathbb{Z}_2$)

[alf1234]

Sonic86 в сообщении #1141813 писал(а):

Упростите $x^2+x-2$ в указанном кольце ($=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\mathbb{Z}_2$)

Спасибо, вот..

$x^2+x-2\equiv x^2+x \pmod 2$

Но а как дальше?

$P(x)=(x^2-1)^2(x^3+1)(x^4-1)=(x-1)^3(x+1)^4(x^2-x+1)(x^2+1)$

$P(x)\equiv (x+1)^3(x+1)^4(x^2+x+1)(x^2-1)\pmod 2$

$P(x)\equiv (x+1)^4(x+1)^5(x^2+x+1)\pmod 2$

Получается, что $\text{}(P,x^2+x-2)=x+1$ в кольце $\mathbb{Z}[2]$

Правильно ли?

[Sonic86]

alf1234 в сообщении #1141838 писал(а):

Правильно ли?

Да.
Можно было немного попроще: Вам ведь точная степень $x+1$ в $P(x)$ не нужна, а и так было видно, что $x+1 | P(x), \ x\nmid P(x)$.

[alf1234]

Хорошо, спасибо. А почему $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\mathbb{Z}_2$, только это осталось неясным.

[Sonic86]

$\mathbb{Z}_2$ - это просто одно из обозначений $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ (это не кольцо $2$-адических чисел). Я мог бы написать $\mathbb{F}_2$ или $\mathrm{GF}(2)$, но то обозначение мне кажется очень коротким, потому я его и употребляю.

Я правильно понял вопрос?

[alf1234]

Да, правильно, спасибо!