прямые что пересекаются

[ghenghea]

Пусть окружность $\Omega$ с центром $O$ описана в остроугольному треугольнику $ABC$.Точка $M$,отличная от $O$, расположена произвольно внутри треугольника так, что прямые $AM,BM,CM$ пересекают окружность $\Omega$ в точках $A_1,B_1,C_1$ соответственно.Пусть $A_2,B_2,C_2 $ центры описанных окружностей треугольников $MBC,MCA,MAB$ соответственно .
Докажите,что прямые $A_1 A_2 ,B_1 B_2, C_1 C_2 $ пересекаются в одной и той же точке.

[Sergic Primazon]

$$\frac{BC_1}{BA_1}= \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)} , BC_2\cdot \sin(\beta)= BA_2 \cdot \sin(\alpha) \Rightarrow \frac{BC_1}{BA_1}=\frac{BC_2}{BA_2}$$

$$\angle C_1BC_2=\angle C_1BM-(\frac{\pi}{2}-\beta) , \angle A_1BA_2=\frac{\pi}{2}-\alpha - \angle A_1BM , \angle C_1BM+\angle A_1BM = \pi -\alpha-\beta \Rightarrow$$

$$\angle C_1BC_2=\angle A_1BA_2 \rightarrow \triangle C_1BC_2 \sim \triangle A_1BA_2$$

Поэтому точка пересечения $C_1C_2$ и $A_1A_2 \rightarrow F_{ac} \in \omega$ . Аналогично $ F_{ba} \in \omega$ и $F_{cb} \in \omega$.

Поэтому $A_1A_2, B_1B_2,C_1C_2$ пересекаются в одной точке $F \in \omega.$