Неприводимые представления группы Лоренца

[amon]

(Оффтоп)

Metford в сообщении #1141152 писал(а):

что такое это "после"?

А Вы поинтересуйтесь биографией Юрия Борисовича Румера. По поводу "что не так". Кто-то из математиков писал, что если лектор на лекции пропускает две тривиальности подряд, то для слушателя это становится неразрешимой проблемой. IMHO, книжки Румера-Фета этим грешат, а книжка 36 года фактически о том-же, но для рабочих и крестьян.

[physicsworks]

Замечательно изложено у Michele Maggiore здесь (Chapter 2), впрочем, как и остальные базовые вещи по QFT.

[Metford]

physicsworks, спасибо! Вот этой книги не видел раньше. Правда, я посмотрел то место, которое меня интересовало - ради чего тема создавалась - на данный момент уже не столь актуально. Мне бы эту книгу пару недель назад! Но я всё равно её внимательно посмотрю - ради остального содержания. Хорошая книга по КТП лишней никогда не будет.

[physicsworks]

Metford, я бы рекомендовал эту книгу прочитать всем, прежде чем браться за Пескина и Шредера, Шварца, Вайнберга и др.

[Metford]

physicsworks, книгу я пока просмотрел по диагонали, впечатление очень благоприятное. Спасибо, что обратили на неё внимание!

(Оффтоп)

надеюсь, её можно читать и тем, кто уже брался за перечисленные Вами книги. Хорошо брался

[Nirowulf]

physicsworks

Большое спасибо за книгу, выглядит интригующе!

amon в сообщении #1141148 писал(а):

Ещё такая книжка есть (для продвинутых пользователей):
Ляховский В.Д., Болохов А.А. Группы симметрии и элементарные частицы.

Раз уж amon вспомнил питерских физиков, то стоит упомянуть ещё одну книгу: Ю. А. Яппа Введение в теорию спиноров и её приложения в физике.

[Metford]

Nirowulf в сообщении #1141280 писал(а):

стоит упомянуть ещё одну книгу: Ю. А. Яппа Введение в теорию спиноров и её приложения в физике.

Там тоже во первых же строках про алгебру Клиффорда.
Раз уж второй раз об этом речь зашла, скажите, насколько это необходимый математический аппарат для физика? Я вовсе не собираюсь судить предвзято. Хотелось бы знать мнение людей сведущих, чтобы понять, стоит ли отодвинуть что-то на второй-третий план в очереди на изучение.

[lek]

Metford в сообщении #1141283 писал(а):

Раз уж второй раз об этом речь зашла, скажите, насколько это необходимый математический аппарат для физика?

Если работаете исключительно в четырехмерии, то особой необходимости нет (разве что добавляет ясности в понимании конструкции спинорных представлений малых групп, таких как $SO(3)$, $SO(1,3)$ и т.п.). Необходимость возникает при изучении пространственно-временных и калибровочных симметрий многомерных теорий, например, в супергравитации и теории струн.

[Metford]

lek, спасибо! Всё равно, наверное, загляну в этот раздел со временем. Просто не в ближайшем времени.

Тут ещё один вопрос между тем возник. Хорошо, размерность представления $(j_1,j_2)$ приходится удваивать с добавлением к собственной группе Лоренца инверсии пространства, если $j_1\neq j_2$. Но допустим, что $j_1=j_2=j$ - тогда размерность увеличивать не нужно. Но как тогда выглядит матрица инверсии пространства? Мне встретилось в одном-единственном месте утверждение, что она будет блочная. Блоки - чередующиеся матрицы: единичная, минус единичная и т.д. Размеры блоков $4j+1$, $4j-1$,... , $1$. Последний блок - просто единица. Но откуда это - не объясняется. Обычная матрица инверсии - для 4-векторов - в эту схему укладывается, но хотелось бы понять происхождение самой схемы.

[Metford]

С инверсией тут не сложилось, ладно - кое-что прояснилось вроде.

Меня сейчас интересует обоснование некоторых деталей описания дираковских полей. Конкретно - перечисление величин, составленных из компонент двух биспиноров $\psi$ и $\psi^+$.

1. В биспиноре две верхние компоненты имеют верхний непунктирный индекс, а две нижние - нижний пунктирный. Если взять, например, 4 том ЛЛ, то там про различие между этими индексами, конечно, сказано. Но потом - когда до дела доходит - то биспинор пишется просто в виде $\begin{pmatrix} \varphi \\ \chi \end{pmatrix}$. Собственно, меня тоже так и учили. А теперь захотелось мне индексную форму записи сохранить - и возник вопрос: а как в индексах выглядит биспинор $\psi^+$?

2. Дальше собираются величины типа $\bar{\psi}\psi$ и иже с ними. Опять-таки, чтобы это получился скаляр группы Лоренца, свободных индексов остаться не должно. Сворачивать пунктирные индексы с непунктирными, естественно, запрещено. Так что в этом месте снова возникает вопрос №1. Но пойдём дальше - по старинке, без индексов. Появляется ещё и псевдоскаляр, 4-вектор и т.д. Хотелось бы не перебирать всё это наугад, а получить автоматически - из разложения Клебша-Гордана. Потому что есть два биспинора, каждый преобразуется по представлению $(1/2,0)\oplus(0,1/2)$. Перемножаю эти два представления, применяю теорему Клебша-Гордана и нахожу две величины типа $(0,0)$, две величины типа $(1/2,1/2)$ и величины типа $(1,0)$ и $(0,1)$. Всё это, конечно, пока по отношению к собственной группе Лоренца - не к полной. Там ещё придётся скаляры - псевдоскаляры различать - но это всё понятно. Непонятна правильная формализация, чтобы все эти величины получились сами. Прямое произведение биспиноров брать, видимо, нельзя: оно превратится в прямые произведения входящих в них спиноров, а это вроде бы не то, что нужно. А как тогда по-другому?

[Metford]

Хотя особого интереса к теме не вижу, всё-таки напишу, к каким выводам пришёл. Есть подозрение, что у меня есть неточности или даже ошибки. Если мне на них укажут, буду признателен. Очень надеюсь, что пунктирные и непунктирные индексы будут различимы при чтении!
Итак, биспинор $\psi$ состоит из двух спиноров $(\phi^n,\chi_{\dot{k}})$. Эрмитово сопряжение фактически изменяет положение и тип индекса (меняет местами верхний и нижний индекс, меняет местами пунктирный и непунктирный индекс).
Таким образом, скаляр $\bar{\psi}\psi$ записывается следующим образом:

$$\bar{\psi}\psi=\varepsilon^{\dot{n}\dot{k}}(\phi^*)_{\dot{n}}\chi_{\dot{k}}+\varepsilon_{nk}(\chi^*)^n\phi^k=$$

$$=\varepsilon^{\dot{n}\dot{k}}\varepsilon_{\dot{n}m}(\phi^*)^m\chi_{\dot{k}}+\varepsilon_{nk}\varepsilon^{n\dot{m}}(\chi^*)_{\dot{m}}\phi^k=$$

$$=\Pi^{\dot{k}}_m(\phi^*)^m\chi_{\dot{k}}+\Pi_k\varepsilon^{\dot{m}}(\chi^*)_{\dot{m}}\phi^k.$$

"Метрическая" матрица

$$\varepsilon^{ik}=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Матрица $\Pi$ подбирается, исходя из известного вида $\bar{\psi}\psi$ и известного правила свёртки спиноров:

$$\Pi^{\dot{k}}_m=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

UPD: Следуя совету Munin, всюду заменил индекс $i$ на $n$. Так будет, действительно, лучше читаться.

(Оффтоп)

P.S. Почему проверка формул ругается на символ phi, требуя заменить его символом vaphi? Что за дискриминация?

[Munin]

(Оффтоп)

Metford в сообщении #1142430 писал(а):

Очень надеюсь, что пунктирные и непунктирные индексы будут различимы при чтении!

Выберите вместо $i$ какую-нибудь другую букву, тогда будет лучше.

Metford в сообщении #1142430 писал(а):

P.S. Почему проверка формул ругается на символ phi, требуя заменить его символом vaphi? Что за дискриминация?

Потому что проверка настроена на людей пониже уровнем. Например, не знающих, как набрать $\varphi,$ и от неумения пишущих просто $\phi.$ Разумеется, это всего лишь рекомендация (а если написано "ошибка", то это сдуру).

[espe]

Если правильно понял, то ответ такой. В суперсимметрии принято следующее соглашение о суммировании: для неточечных индексов $\varphi\chi\equiv\varphi^a\chi_a$, для точечных: $\bar{\varphi}\bar{\chi}\equiv\bar{\varphi}_{\dot{c}}\bar{\chi}^{\dot{c}}$. Что об этом пишут ЛЛ-4 я не читал.

Дираковский спинор записывается $\Psi\equiv\begin{pmatrix}\varphi_a\\ \bar{\chi}^{\dot{c}}\end{pmatrix},$ дираковски сопряжённый спинор $\bar{\Psi}\equiv(\chi^a,\bar{\varphi}_{\dot{c}}),$ где $\bar{\varphi}_{\dot{a}}\equiv(\varphi_a)^*,$ аналогично для $\chi_a.$ Соотвтственно $\bar{\Psi}\Psi=\chi^a\varphi_a+\bar{\varphi}_{\dot{c}}\bar{\chi}^{\dot{c}}.$

[Metford]

espe в сообщении #1142448 писал(а):

Что об этом пишут ЛЛ-4 я не читал.

Там эта часть теории излагается, на мой взгляд, довольно запутанно. Информация распределена по нескольким параграфам вперемешку с физическими соображениями.

espe в сообщении #1142448 писал(а):

Дираковский спинор записывается $\Psi\equiv\begin{pmatrix}\varphi_a\\ \bar{\chi}^{\dot{c}}\end{pmatrix},$ дираковски сопряжённый спинор $\bar{\Psi}\equiv(\chi^a,\bar{\varphi}_{\dot{c}}),$ где $\bar{\varphi}_{\dot{a}}\equiv(\varphi_a)^*,$ аналогично для $\chi_a.$ Соотвтственно $\bar{\Psi}\Psi=\chi^a\varphi_a+\bar{\varphi}_{\dot{c}}\bar{\chi}^{\dot{c}}.$

Я правильно понимаю, что здесь $\bar{\chi}^{\dot{c}}$ - единое обозначение, а в дираковски сопряжённом спиноре черта (или её отсутствие) - это уже обозначение того, кто по отношению к кому комплексно сопряжён? Т.е. просто звёздочку комплексного сопряжения в биспиноре ставить не принято?

[espe]

В принципе да, только в дираковском не совсем комплексное сопряжение. И ещё $\bar{\Psi}\Psi$ --- это скаляр. $\gamma_5$ --- это что-то типа $\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$ и $\bar{\Psi}\gamma_5\Psi=\chi^a\varphi_a-\bar{\varphi}_{\dot{c}}\bar{\chi}^{\dot{c}}$ --- это псевдоскаляр. Аналогично $\bar{\Psi}\gamma_\mu\Psi$ --- вектор, $\bar{\Psi}\gamma_\mu\gamma_5\Psi$ --- псевдовектор, и т.д. $\gamma_\mu=\begin{pmatrix}0&(\sigma_{\mu})_{a\dot{c}}\\ (\bar{\sigma}_\mu)^{\dot{a}c}&0\end{pmatrix},$ $(\sigma_{\mu})_{a\dot{c}}$ --- матрицы Паули.