Вопрос понимания интеграла Лебега-Стилтьеса

[Dmitry Strelnikov]

Всем доброго времени суток.

Растолкуйте, пожалуйста. В определении интеграла Римана-Стилтьеса предполагается, что подынтегральная функция и производящая функция не имеют общих точек разрыва.

В то же время интеграл Лебега-Стилтьеса может существовать даже если обе функции имеют общую точку разрыва. Например, функция $f = h(x)$ интегрируется по мере $d\mu = d(h(x))$, где $h(x)$ - характеристическая функция интервала $(0, \infty)$. Функция $f$ является простой, а значит по определению
$\int_{R} f d\mu$ = 0 \cdot \mu(-\infty, 0] + 1 \cdot \mu(0, \infty) = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0.

Все верно, или где-то я заблуждаюсь? Сейчас эта мелочь важна для меня.

P.S. Внес некоторые исправления, т.к. с первого раза глупость написал.

[Otta]

Dmitry Strelnikov в сообщении #1139758 писал(а):

$\int_{R} f d\mu$ = 0 \cdot \mu(-\infty, 0] + 1 \cdot \mu(0, \infty) = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0.

(Оффтоп)

Всего один доллар в нужном месте и в нужное время, а какая разница.

Dmitry Strelnikov в сообщении #1139758 писал(а):

$\int_{R} f d\mu = 0 \cdot \mu(-\infty, 0] + 1 \cdot \mu(0, \infty) = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0.$

Можно подумать, на это глядя, что Вы полагаете меру множества неположительных чисел равной единице. Это с чего бы?

Этот интеграл нулевой, да. Но посчитайте его правильно.

Чтоб было интереснее, можно потом (или сразу) взять $f(x)=\begin{cases}x,&\text{если }x>0;\\1,&\text{если } x\le 0;\end{cases}$
а то и вовсе произвольно заданной на всей прямой.

[Dmitry Strelnikov]

Otta в сообщении #1139794 писал(а):

Всего один доллар в нужном месте и в нужное время, а какая разница.

Странно, у меня все корректно отображает в моем сообщении, но не корректно отображает в первой цитате, которую Вы привели.

Я отталкиваюсь от определения меры Лебега-Стилтьеса для промежутков, которое дается в книге Колмогорова и Фомина:
$ \mu\left(-\infty,0\right] = h(+0)-h(-\infty) = 1 $.

[Otta]

А, ну так еще можно.

А что получится для произвольной функции и такой меры?

(TeX)

Dmitry Strelnikov в сообщении #1139818 писал(а):

Странно, у меня все корректно отображает в моем сообщении, но не корректно отображает в первой цитате, которую Вы привели.

Из цитаты

$\int_{R} f  d\mu$ =  ....

Второй доллар должен быть в конце формулы.

[Dmitry Strelnikov]

Otta

Как я думаю, для функции, что Вы привели (да и любой другой) должно получиться $f(0)$ или конкретнее 1.
То есть в общем случае $\int f d\mu = \sum f(x_i) \mu\{x_i\}$. Это, в принципе, так и для интеграла Римана-Стилтьеса за тем исключением, что в силу построения функция, имеющая общие скачки с мерой в смысле предела интегральных сумм не интегрируема.

Меня сейчас интересует вопрос, может ли случиться так, что функция ограниченной вариации на отрезке не интрегрируема на этом отрезке по некоторой мере Лебега-Стилтьеса. В первую очередь возник вопрос об общих точках разрыва и я решил попросить проверить мои рассуждения, ибо конкретно такой разобранной ситуации в литературе не видел.

То есть первый интеграл, который я привел в качестве примера, существует в смысле Лебега-Стилтьеса, но не существует в смысле Римана-Стилтьеса? Правильно? Всегда ли так будет?

[demolishka]

Dmitry Strelnikov в сообщении #1139825 писал(а):

может ли случиться так, что функция ограниченной вариации на отрезке не интрегрируема на этом отрезке по некоторой мере Лебега-Стилтьеса.

Функция ограниченной вариации представима как разность двух монотонных функций. Монотонная функция измерима относительно борелевской сигма-алгебры. Любая мера Лебега-Стилтьеса задана как минимум на борелевской сигма-алгебре. Так что функция ограниченной вариации является измеримой и от нее корректно определен интеграл по мере Лебега-Стилтьеса.

[Dmitry Strelnikov]

demolishka

Спасибо!