Циклическое уплотнение башни подгрупп. Ленг.

[Duelist]

Ленг. Алгебра. Часть 1. §4. Нормальные подгруппы. Стр. 32.



Предложение 4. "Всякая абелева башня конечной группы G допускает циклическое уплотнение." Я не понимаю, откуда это следует.
Ниже в доказательстве написано "... достаточно доказать, что если G - конечная абелева группа, то G обладает циклической башней. Док-во этого утверждения я понял. Но мне это не помогло.
Во-первых, что значит "допускает циклическое уплотнение"? Допустим $G \supset G_1 \supset \dots G_i \supset G_{i+1} \dots \supset G_m$ - абелева башня. Тогда $G \supset G_1 \supset \dots G_i \supset H \supset G_{i+1} \dots \supset G_m$, где $G_i/H$, $H/G_{i+1}$ - циклические факторгруппы, - это циклическое уплотнение? Или нужно, чтобы после уплотнения вся башня стала циклической?
И если $G \supset G_1^{'} \supset \dots \supset G_{n-1}^{'} \supset \{e\}$ -циклическая башня группы G, как потом этой башней уплотнять абелеву башню G? Ведь неизвестно точно, как подгруппы из двух башен друг с другом взаимосвязаны.

[Sonic86]

Duelist в сообщении #1139529 писал(а):

Во-первых, что значит "допускает циклическое уплотнение"?

Значит "существует циклическое уплотнение".

Duelist в сообщении #1139529 писал(а):

Допустим $G \supset G_1 \supset \dots G_i \supset G_{i+1} \dots \supset G_m$ - абелева башня. Тогда $G \supset G_1 \supset \dots G_i \supset H \supset G_{i+1} \dots \supset G_m$, где $G_i/H$, $H/G_{i+1}$ - циклические факторгруппы, - это циклическое уплотнение? Или нужно, чтобы после уплотнения вся башня стала циклической?

нужно 2-е: чтобы вся башня была циклической.

Duelist в сообщении #1139529 писал(а):

И если $G \supset G_1^{'} \supset \dots \supset G_{n-1}^{'} \supset \{e\}$ -циклическая башня группы G, как потом этой башней уплотнять абелеву башню G? Ведь неизвестно точно, как подгруппы из двух башен друг с другом взаимосвязаны.

Вроде как да - могут быть разные циклические неизоморфные башни. Но могу врать и пример не приведу (хотя вот $S_3$ можно взять - и там 2 неизоморфных башни)
ИМХО, можно проще. Пусть $G,H$ - абелевы, $G\supset H$. Рассмотрим группу $K=aH$, для $a\in G\setminus H$. $G,K,H$ абелевы, $G\supset K\supset H$, значит $G\triangleright K\triangleright H$. Ясно, что $aH/H$ - циклическое расширение, а $|G/K|<|G/H|$. Теперь просто итерируем этот процесс. Мощность $|G/K_j|$ будет падать до 1, в результате получим циклическую башню $G\supset K_n\supset...\supset K_0\supset H$.

[AV_77]

Пусть есть ряд ряд $E = G_n < G_{n-1} < \ldots < G_1 < G_0 = G$ с абелевыми факторами. Рассмотрим факторгруппу $G_i / G_{i+1}$. Так как она абелева, то для нее можно построить ряд с циклическими факторами, например $E = H_{i,k} < H_{i,k-1} < \ldots < H_{i,0} = G_i / G_{i+1}$. Прообразами групп $H_{i,j}$ из этого ряда будут некоторые подгруппы $G_{i,j}$ группы $G_i$. Добавим их в исходный ряд. Получится уплотнение
$E = G_n < \ldots <G_i = G_{i,k} < G_{i,k-1} < \ldots < G_{i,0} = G_i < \ldots < G_0 = G$.
При этом факторы $G_{i,s} / G_{i,s+1}$ этого ряда будут подгруппами в $H_{i,s} / H_{i,s+1}$, то есть циклическими группами. Аналогичным образом уплотняется весь ряд.

-- Пт июл 22, 2016 20:47:13 --

Sonic86 в сообщении #1139536 писал(а):

Вроде как да - могут быть разные циклические неизоморфные башни. Но могу врать и пример не приведу (хотя вот $S_3$ можно взять - и там 2 неизоморфных башни)

Композиционные ряды (а у $S_3$ циклические ряды являются композиционными) всегда изоморфны. Кроме того, у нее только один циклический ряд - $E < A_3 < S_3$. Примером группы, у которой есть два неизоморфных циклических ряда может служить, например, любая циклическая группа составного порядка. Скажем у $\mathbb{Z}_{6}$ есть два неизоморфных ряда - $\{ 0 \} < \mathbb{Z}_6$ и $\{ 0 \} < 2\mathbb{Z}_6 < \mathbb{Z}_6$.

[Duelist]

Спасибо за помощь, извиняюсь за задержку. Разобрался с этим, выкладываю всё доказательство подробно. Ещё нужно было доказать, что башня после уплотнения остаётся абелевой. Надеюсь, всё правильно.

Пусть есть абелева башня $G=G_0 \supset G_1 \supset \dots G_i \supset G_{i+1} \supset \dots \supset G_n$.
1) Рассмотрим факторгруппу $G_i / G_{i+1}$. Так как она абелева, то для неё можно построить башню с циклическими факторами, где наименьшая подгруппа тривиальная. Так как если $H \triangleright A$, $A/H$ - факторгруппа и $M$ - подгруппа $A/H$, то $M = K/H$, где $K$ - какая-то подгруппа $A$ $(K=\bigcup M)$, эту башню можно записать следующим образом: $G_i / G_{i+1} = G_{i,0} / G_{i+1} \supset G_{i,1} / G_{i+1} \supset \dots \supset G_{i,k} / G_{i+1} \supset \{ G_{i+1} \}$, где $G_{i,m}$ $m = 0 \dots k$ - подгруппы $G_i$. Группы $G_i$ и $G_i / G_{i+1}$ связаны каноническим гомоморфизмом $f: G_i \rightarrow G_i / G_{i+1}, f(x) = xG_{i+1}$, поэтому прообраз циклической башни в $G_i / G_{i+1}$ образует циклическую башню в $G_i$ : $G_i = G_{i,0} \supset G_{i,1} \supset \dots \supset G_{i,k} \supset G_{i+1}$. Таким образом уплотняется вся башня.

2) Докажем ещё, что после нашего циклического уплотнения башня остаётся абелевой.
$G_{i, k-j} / G_{i+1}$ , $j=1 \dots k$ - абелева факторгруппа, поскольку является подгруппой $G_i / G_{i+1}$. Далее, для гомоморфизма $f: $ $G_{i, k-j} / G_{i+1} \rightarrow G_{i, k-j} / G_{i, k-j+1}$, $f( xG_{i+1} ) = xG_{i, k-j+1}$ ядром будет $G_{i, k-j+1} / G_{i+1}$, (Ленг. Нормальные подгруппы, стр. 30, пункт (iii)) поэтому $( G_{i, k-j+1} / G_{i+1} ) \triangleright ( G_{i, k-j} / G_{i+1} )$.
Факторгруппа $(G_{i, k-j} / G_{i+1}) / ( G_{i, k-j+1} / G_{i+1} )$ изоморфна $G_{i, k-j} / G_{i, k-j+1}$, (про этот изоморфизм в том же пункте у Ленга) откуда следует, что $G_{i, k-j} / G_{i, k-j+1}$ - абелева факторгруппа для $j =1 \dots k$. $G_{i,k} / G_{i+1}$ - абелева, т.к. она есть подгруппа $G_i / G_{i+1}$.

(Оффтоп)

Что-то такое чувство, что у меня в конспекте учебник, а у Ленга - набросок этого учебника: по ощущениям чуть ли не 90% утверждений нужно доказывать самостоятельно.

[AV_77]

Duelist в сообщении #1140061 писал(а):

щё нужно было доказать, что башня после уплотнения остаётся абелевой.

В чем смысл этого действия? Или вы знаете циклические группы, которые не являются абелевыми?

[Duelist]

А, да, думал только об абстракции . Конечно, циклических групп мало: множество целых чисел со сложением и аддитивные группы вычетов по модулю $n$ - с точностью до изоморфизма. Они таки коммутативны)