Диофантин

[arqady]

$(505,503)$ и $(503,505)$ являются решенями уравнения $x^2+y^2+x^2y^2=504^4+3$.
Как понять, что нет других натуральных решений? Спасибо!
$x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$. Ну и что?

[Brukvalub]

Разве брут форс прямой перебор не помогает?

[arqady]

Что я, сдуру, и сделал. Некрасиво получается...

[svv]

После прибавления единицы левая часть раскладывается на множители так: $(x^2+1)(y^2+1)$, а правая, используя известное решение $(503, 505)$, так: $(503^2+1)(505^2+1)=2^2\cdot 5\cdot 29\cdot 4397 \cdot 25301$. После этого уравнение передаётся специалистам по теории чисел.

[Батороев]

Привел уравнение к виду:

$${\left(\dfrac{503 \cdot505+1}{2}\right)^2-\left(\dfrac{xy-1}{2}\right)^2=\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2-\left(\dfrac{505-503}{2}\right)^2$$

Как мне видится кажется, что такое разложение на разность квадратов однозначно принадлежит числу $xy=503\cdot505$.