Обобщенная обратная матрица, теорема из учебника

[bb33]

В учебнике Прасолова по линейной алгебре есть теорема про обобщенную матрицу, в доказательстве которой есть непонятный момент.

Из учебника:

Матрицу $X$ называют обобщённой обратной для матрицы $A$ (не обязательно квадратной), если $XAX = A,$ $AXA = A$ и матрицы $AX$ и $XA$ эрмитовы.

Теорема 8.6.1.1. Матрица $X$ является обобщённой обратной для матрицы $A$ тогда и только тогда, когда матрицы $P = AX$ и $Q = XA $ являются эрмитовыми проекторами на $\operatorname{Im} A$ и $\operatorname{Im} A^*$ соответственно.

Доказательство. Предположим сначала, что матрицы $P$ и $Q$ являются эрмитовыми проекторами на $\operatorname{Im} A$ и $\operatorname{Im} A^*$ соответственно. Если $v$ — произвольный вектор, то $Av \in \operatorname{Im} A$, поэтому $PAv = Av$, т.е. $AXAv = Av.$
Кроме того, $Xv \in \operatorname{Im} XA = \operatorname{Im} A^*$, поэтому $QXv = Xv, т.е. $XAXv = Xv.$ <Дальше идет док-во в обратную сторону.>

Хотел бы узнать, почему если $ v $ – произвольный вектор, то $Xv \in \operatorname{Im} XA$.

[svv]

bb33 в сообщении #1138516 писал(а):

Хотел бы узнать, почему если $ v $ – произвольный вектор, то $Xv \in \operatorname{Im} XA$.

По-моему, это неверно. Возьмём матрицы
$X=E=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\quad\quad A=A^*=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}$
Тогда $\operatorname{im}A^*$ — это подпространство векторов $v$ вида $\begin{bmatrix}v_1\\0\end{bmatrix}$.
$Q=XA=A$ является эрмитовым проектором на $\operatorname{im}A^*$.
Но $Xv=v$ не обязательно принадлежит $\operatorname{im}A^*$, например, для вектора $v=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$.

[svv]

В определении обобщённой обратной матрицы у Прасолова явная ошибка или опечатка: $XAX$ должно быть равно $X$, а не $A$.

[ewert]

Соответственно, неверна и сама теорема: для матрицы $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ псевдообратной она же сама и является, а вовсе не единичная.

[bb33]

svv и ewert, спасибо за ответы.

У Прасолова материал про обобщенную обратную матрицу был несколько короче, чем в некоторых других местах, и к тому же в предисловии сказано "особое внимание обращено на нестандартные изящные доказательства", поэтому я вместо поиска контрпримера пытался понять доказательство. Видимо, нужно быть более критическим и смелым :)