Сходимость ряда обратных факториалов к числу e

[deep blue]

У Фихтенгольца (п.37) есть примерно такое(как я его вижу) доказательство сходимости ряда $\sum \limits_{k=0}^{\infty } \frac{1}{k!}$ к числу $e=\lim \limits_{n\rightarrow \infty } \left( 1+\frac{1}n \right) ^{n}$.
Дано:
1. $y_k=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots+\frac{1}{k!}$
2. $x_{n,k}=1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}n\right)+\frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}n\right)\left(1- \frac{2}n\right)+\ldots+\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}n\right)\left(1-\frac{2}n\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}n\right)$ при условии что $k \le n$, например: $x_{n,n}=\left( 1+\frac{1}n \right) ^{n}$
3. $\lim \limits_{k\rightarrow \infty } \lim \limits_{n\rightarrow \infty } x_{n+k,k} = e$ это доказано в п. 36
Надо доказать, что:
$\lim \limits_{k\rightarrow \infty } y_k = e$
Доказательство (как я его вижу):
Так как предел суммы равен сумме пределов(при условии что число слагаемых конечно) то очевидно выполняется:
$\lim \limits_{n\rightarrow \infty } x_{n+k,k} = y_k$
перейдя к пределу в этом равенстве получим:
$e=\lim \limits_{k\rightarrow \infty } \lim \limits_{n\rightarrow \infty } x_{n+k,k} = \lim \limits_{k\rightarrow \infty } y_k$
$\Square$

Но здесь то уже количество слагаемых по k бесконечно, поэтому мы уже не можем пользоваться последним предельным переходом? Впрочем контрпримера я не нашел, похоже преобразование из $\lim \limits_{n\rightarrow \infty } x_{n+k,k} = y_k \forall k$ в $\lim \limits_{k\rightarrow \infty } \lim \limits_{n\rightarrow \infty } x_{n+k,k} = \lim \limits_{k\rightarrow \infty } y_k$ всегда законно (если левый двойной предел существует).

[ewert]

У Фихтенгольца таких слов (и даже размышлений) нет. У него, прежде всего,
$x_{n}=1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}n\right)+\frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}n\right)\left(1- \frac{2}n\right)+\ldots+\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}n\right)\left(1-\frac{2}n\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}n\right)<1+1+\frac1{2!}+\ldots+\frac1{n!}$
и, следовательно, $x_n=\left(1+\frac1n\right)^n$ ограничено сверху суммой геометрической прогрессии; а поскольку ещё и возрастает, то сходится к некоторому числу $e$. Из этого же неравенства в пределе $n\to\infty$ получим $e\leqslant\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac1{k!}$, и остаётся только получить аналогичную оценку снизу. Вот тут оцениваем при любых $n\geqslant k$
$x_{n}>x_{n,k}=1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}n\right)+\frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}n\right)\left(1- \frac{2}n\right)+\ldots+\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}n\right)\left(1-\frac{2}n\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}n\right)$,
и при фиксированном $k$ получаем $e=\lim\limits_{n\to\infty}x_n\geqslant\lim\limits_{n\to\infty}x_{n,k}=1+1+\frac1{2!}+\ldots+\frac1{k!}$, причём это неравенство верно при любом $k$. Ну, значит, оно верно и при $k\to\infty$, т.е. $e\geqslant\sum\limits_{m=0}^{\infty}\frac1{m!}$.

[deep blue]

ewert, к обоим доказательствам у меня один и тот же вопрос.

ewert в сообщении #1138222 писал(а):

при фиксированном $k$ получаем $\lim\limits_{n\to\infty}x_{n,k}=1+1+\frac1{2!}+\ldots+\frac1{k!}$, причём это равенство верно при любом $k$.

Равенство верно потому что предел суммы равен сумме пределов при любом конченом k. Ну а далее мы устремляем $k\to\infty$ и уже не можем пользоваться предыдущим выводом. В чем я ошибаюсь?

[ewert]

deep blue в сообщении #1138233 писал(а):

В чем я ошибаюсь?

В том, что после предельного перехода $n$ исчезло, и осталось лишь неравенство $e\geqslant1+1+\frac1{2!}+\ldots+\frac1{k!}\ \ (\forall k)$.

[deep blue]

ewert Ну ладно, уговорили. А в моем доказательстве это вообще верно?

deep blue в сообщении #1138209 писал(а):

преобразование из $\lim \limits_{n\rightarrow \infty } x_{n+k,k} = y_k \forall k$ в $\lim \limits_{k\rightarrow \infty } \lim \limits_{n\rightarrow \infty } x_{n+k,k} = \lim \limits_{k\rightarrow \infty } y_k$ всегда законно (если левый двойной предел существует).

[ewert]

deep blue в сообщении #1138242 писал(а):

преобразование из $\lim \limits_{n\rightarrow \infty } x_{n+k,k} = y_k \forall k$ в $\lim \limits_{k\rightarrow \infty } \lim \limits_{n\rightarrow \infty } x_{n+k,k} = \lim \limits_{k\rightarrow \infty } y_k$ всегда законно

А это не преобразование, это просто навешивание предела на равенство.