Прецессия Томаса: вычислительный момент

[Metford]

Здравствуйте.

Мне даже неудобно с таким вопросом выходить: как-то следовало такими вещами заниматься раньше, да и слишком уж вычислительный этот вопрос - но что-то не выходит никак.
Я хочу фактически повторить вычисление, показанное у Джексона в "Классической электродинамике", приводящее к угловой скорости прецессии Томаса (это стр. 403 по изданию 1965 г.). Весь контекст мне ясен - вопрос не в нём. По сути там проделываются два последовательных преобразования Лоренца: от системы покоя частицы в момент $t$ к лабораторной системе и от лабораторной системы к системе покоя частицы в момент $t+\delta t$. В первом переходе скорость берётся $(-\vec{v})$, во втором скорость $\vec{v}+\delta\vec{v}$. Меня не порадовала перспектива выполнения преобразований "в лоб", и я решил сделать всё в матричном формализме. Преобразованию Лоренца ставится в соответствие матрица
$L(\vec{v})=\left( \begin{array}{c|ссc} \gamma & -\gamma\frac{v_x}{c} & -\gamma\frac{v_y}{c} & -\gamma\frac{v_z}{c} \\ \hline -\gamma\frac{v_x}{c} & 1+\frac{\gamma^2}{1+\gamma}\frac{v_x^2}{c^2} & \frac{\gamma^2}{1+\gamma}\frac{v_xv_y}{c^2} & \frac{\gamma^2}{1+\gamma}\frac{v_xv_z}{c^2} \\ -\gamma\frac{v_y}{c}& \frac{\gamma^2}{1+\gamma}\frac{v_xv_y}{c^2}& 1+\frac{\gamma^2}{1+\gamma}\frac{v_y^2}{c^2} & \frac{\gamma^2}{1+\gamma}\frac{v_yv_z}{c^2}\\ -\gamma\frac{v_z}{c} & \frac{\gamma^2}{1+\gamma}\frac{v_xv_z}{c^2} & \frac{\gamma^2}{1+\gamma}\frac{v_yv_z}{c^2}& 1+\frac{\gamma^2}{1+\gamma}\frac{v_z^2}{c^2} \end{array} \right)$
Понятно, это можно в блочном виде записать или в индексах (как я и делаю), но не в этом дело.
Дальше нужно в линейном приближении по компонентам $\delta\vec{v}$ вычислять произведение $L(\vec{v}+\delta\vec{v})L(-\vec{v})$, причём нужно учесть, что в матрице второго перехода вместо $\gamma$ нужно ставить в линейном приближении $\gamma(1+\frac{\gamma^2}{c^2}(\vec{v},\delta\vec{v}))$.
И вот делаю я эту процедуру (естественно, в таком виде матрицы я не перемножаю - в индексах всё), для преобразования времени формула с Джексоном сходится, а для пространственных координат - нет. Скажите, пожалуйста, чисто идеологически правильно я наметил вычисление?

[Munin]

Кроме гаммы, добавка скорости должна отразиться на компонентах вектора скорости. А так, вроде, правильно.

[Metford]

Munin в сообщении #1138090 писал(а):

Кроме гаммы, добавка скорости должна отразиться на компонентах вектора скорости.

Разумеется, это я не упомянул за очевидностью.
Понимаете, вычисления-то несложные. Громоздкие - это да. Не хотелось бы думать, что я в них ошибаюсь. Возможно, я что-то не преобразовал до конца. Но уж слишком непохоже на выражение у Джексона получается. Потому и решил, что какую-то деталь упускаю.

(Оффтоп)

Кстати, увидел я тут недавно Ваш мастер-класс в марте. Прямо обидно стало за вопрос годовалой давности. Но дело прошлое...

[Metford]

Ну что ж, выкладки прошли успешнее, теперь преобразование координат отличается от Джексоновского только лоренц-фактором. Это я ещё проверю, зато образовался другой вопрос. Преобразование приводится такое:

$$\vec{r}''=\vec{r}'+\left(1-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)\frac{[\vec{r}',[\vec{v},\delta\vec{v}]]}{v^2}-\Delta\vec{v}t',$$

где $\Delta\vec{v}$ - относительная скорость систем $K'$ и $K''$ (вот, кстати, в последнем слагаемом у меня и возник лишний (?) лоренц-фактор). После этого говорится, что при вращении

$$\vec{r}''=\vec{r}'+[\vec{r}',\Delta\vec{\Omega}],$$

и отсюда извлекается угловая скорость прецессии. А почему игнорируется слагаемое с $t'$? Его тоже как-то нужно интерпретировать.

P.S. Нет, с лоренц-фактором всё в порядке - это в обозначениях рассогласование вышло. Так что остался только вопрос об интерпретации слагаемого с $t'$.

[Cos(x-pi/2)]

Ничего не "игнорируется", слагаемое $-\Delta \vec{v}\, t'$ в выражении для $\vec{r}\,''$ обусловлено движением начала системы осей $K'$ относительно начала системы $K'',$ к повороту осей оно не относится.

Заодно поправка: в вашей формуле

Metford в сообщении #1138232 писал(а):

Преобразование приводится такое:

$$\vec{r}\,''=\vec{r}\,'+\left(1-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)\frac{[\vec{r}\,',[\vec{v},\delta\vec{v}]]}{v^2}-\Delta\vec{v}\,t',$$

знак круглой скобки неправильный: должно быть $(\gamma -1)$ (выкладки с вашими матрицами я тоже проверил, и у меня ответ получился точно тот, который приведён в книге Джексона). Слагаемое

$$(\gamma-1)\frac{[\vec{r}\,',[\vec{v},\delta\vec{v}]]}{v^2}$$

описывает изменение координат из-за поворота осей $K''$ относительно осей $K'.$

Короче говоря, всё проинтерпретировано, и всё правильно вычисляется - как в книге, если не путаться в выкладках.

[Metford]

Cos(x-pi/2), Вы правы, знак у скобки неверный. Это получилось из-за того, что я везде использовал выражение $\frac{\gamma^2}{1+\gamma}$ - как выше, в матрице. Потом переписывал сюда по памяти, знак упустил.

А про чистый сдвиг - да, не сообразил, спасибо! Внимание, наверное, притупилось после этой довольно пустой вычислительной работы. Да и там сначала наошибался где-то