О дискретности множества

[Gotoxy]

Поясните, пожалуйста, фразу в статье:

Цитата:

$\{1, \sqrt{2}\} \subset \mathbb{R}$, then $\mathbb{Z}\{1, \sqrt{2}\}$ is not a discrete set.

Почему это не дискретное множество?

[DeBill]

Gotoxy
Видимо, в цитате идет речь о кольце многочленов от $1,\sqrt{2}$ с коэфф-тами из кольца целых чисел, рассматриваемое как подмножество множества вещественных чисел с обычной топологией. А утверждение состоит в том, что это подмножество содержит неизолированные точки (что и следует Вам доказать)...
А вообще - смотрите определения в своем тексте....

[ewert]

DeBill в сообщении #1137807 писал(а):

это подмножество содержит неизолированные точки

состоит из

[svv]

Оно состоит из, но утверждение состоит в том, что подмножество содержит хоть одну.

[ewert]

svv в сообщении #1137850 писал(а):

но утверждение состоит в том, что подмножество содержит хоть одну.

Это да, но боюсь, что это не сильно облегчает жизнь (зато сильно ухудшает само утверждение).

Достаточно очевидно доказывается, что это множество имеет хотя бы одну предельную точку (во всяком случае, если привлечь принцип компактности, хоть это и не очень спортивно). Но откуда следует, что эта точка принадлежит самому множеству?...

Видимо, самый простой способ -- доказать, что вообще любая точка является предельной, т.е. что дополнение к множеству не имеет внутренних точек.

-- Пт июл 15, 2016 16:12:49 --

Да, кстати: почему неспортивно.

DeBill в сообщении #1137807 писал(а):

рассматриваемое как подмножество множества вещественных чисел с обычной топологией

Потому, что достаточно говорить о поле не вещественных, а лишь алгебраических чисел, в котором компактности нет. Но при этом доказательство, кажется, сильно затрудняется.