Может ли сумма квадратов трёх пследовательных целых чисел...

[Ktina]

Может ли сумма квадратов трёх последовательных целых чисел быть пятой степенью целого числа?

[Mihr]

Не может.

(Оффтоп)

Пусть
$(n-1)^2+n^2+(n+1)^2=k^5$
то есть
$3n^2+2=k^5$
Если число $n$ оканчивается цифрой $0, 1, ... , 9$, то $3n^2+2$ оканчивается цифрой $2, 5, 4, 9, 0, 7, 0, 9, 4, 5$ соответственно (ни одного совпадения с последней цифрой $n$ не наблюдается). Однако последняя цифра пятой степени целого числа всегда совпадает с последней цифрой самого числа.

[svv]

(Mihr)

Мне кажется, Вы доказали только, что последние цифры у $n$ и $k$ различны. Ну и ладно: это ведь разные числа.

[Mihr]

svv,
да, что-то не подумал. Это не решение

[waxtep]

Кхм-хм, если такие числа существуют, то, они довольно большие. В обозначениях Mihr, $(n-1)^2+n^2+(n+1)^2=k^5$, если посмотреть по модулю $11$, то $k$ должно делиться на $11$, а тогда $n$ иметь вид $n=11^5p+96508$ или $n=11^5p+64543$; для $0\le p\le 128$ решений нет, а дальше я перебирать не решился.

[Dmitriy40]

Не просто довольно большими, а очень большими: сумма никак не меньше $10^{40}$.

[Shadow]

По модулю 44 решений нет.

[waxtep]

Shadow в сообщении #1137393 писал(а):

По модулю 44 решений нет.

А если $n=44a+5, k=44b+33$?

[Shadow]

waxtep, да, поспешил

[yk2ru]

Из $3n^2+2=k^5$ можно прийти к
$12s(s+1)+5=(264t+77)^5$, если должно быть $11|k$