Численное нахождение комплексных корней многочлена

[Asatnin]

Здравствуйте!

Встал вопрос о том, какой численный метод позволяет искать комплексные корни многочлена наряду с методом Ньютона? Например, статья о последнем на википедии напрямую говорит о такой его возможности. Необходимо проанализировать, могут ли позволить это сделать методы секущих, хорд и парабол. Интуитивно полагаю, что метод секущих тоже обладает необходимым условием, поскольку очень похож на метод Ньютона, а насчёт остальных не уверен - не могу найти информацию.

[alcoholist]

Asatnin в сообщении #1136643 писал(а):

метод секущих

плоскостей?

[iifat]

Гугл по вашей теме выдаёт 22300 ссылок. Вы утверждаете, что в первых пяти кроме метода Ньютона ничего нет? Таки позвольте оскорбить вас недоверием.

[Евгений Машеров]

Хорошо бы получить "метаинформацию", а именно "А почему Вы спрашиваете?", в смысле один ответ можно будет, без нарушения правил Форума и с пользой дать, если Вы решаете реальную задачу и выбираете наилучший метод, и совершенно другой - если это учебный вопрос, отвечая на который Вы докажете понимание сути методов, а Вы решили найти "царский путь" его решения, спросив тут.
В первом случае можно сообщить, каким методом решал, насколько успешно и какие трудности были. Во втором - полный сравнительный анализ методов за Вас делать не станут, поскольку правилами это наказуемо, максимум - дадут намёки на то, что если нужны комплексные корни, то они не обязательно действительны, а некоторые методы, начиная с действительного приближения к корню, получат действительное же.

[ewert]

Asatnin в сообщении #1136643 писал(а):

какой численный метод позволяет искать комплексные корни многочлена наряду с методом Ньютона? Например, статья о последнем на википедии напрямую говорит о такой его возможности.

Если такая статья в Вике и впрямь есть, то она откровенно лжёт. Метод Ньютона никак не приспособлен для поиска корней. Для уточнения -- да, приспособлен прекрасно. А вот для поиска -- ни разу. Не поддавайтесь на провокации сей благородной дамы.

[TOTAL]

Цитата:

Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. Численные методы.
Гл. VII. Решение систем нелинейных уравнений …, §2 (самый конец)

Для нахождения корней многочлена $P(z)$ как с действительными, так и с комплексными коэффициентами таким методом является метод парабол. При заданных приближениях к корню $z_{n-2}, z_{z-1}, z_n$ приближение $z_{n+1}$ определяется следующим образом. Строится интерполяционный многочлен второй степени, совпадающий с $P(z)$ в точках $z_{n-2}, z_{z-1}, z_n$ . За $z_{n+1}$ принимается корень этого многочлена, наиболее близкий к $z_{n}$ . В стандартных программах метода парабол эта схема подвергнута некоторой модификации; хотя сходимость метода для произвольного многочлена при произвольных начальных условиях не доказана, не зарегистрировано ни одного случая, когда этот метод не сходится или сходится медленно.

[Евгений Машеров]

ewert в сообщении #1137067 писал(а):

Метод Ньютона никак не приспособлен для поиска корней. Для уточнения -- да, приспособлен прекрасно. А вот для поиска -- ни разу.

Ну, это уже из разряда: "Это уже не бой, это сражение!" (профессор Военной Академии, назначенный начальником штаба к бравому, но необразованному генералу в Русско-Японскую войну). Практически все методы нахождения корней нелинейного уравнения итеративны. Разве что метод Лобачевского (и примкнувших к нему Данделена и Греффе) исключение, но он как раз мало используем сейчас.