Можно ли разложить с.в. на нормально распределенные с.в.?

[upgrade]

По ЦПТ сумма с.в. стремится к нормальному распределению.
Таким образом, любую непрерывную с.в., имеющую нормальное распределение можно разложить на несколько с.в., имеющих нормально распределение.
А можно ли разложить непрерывную с.в., которая имеет равномерное распределение на несколько непрерывных с.в., имеющих нормальное распределение?
Решение
Возьмем несколько с.в., с нормальным распределением
$X_1,X_2,...X_n$, одну $Y$с равномерным распределением и сложим их.
По ЦПТ
$\sum {X_i}+Y \rightarrow N_1$
$\sum {X_i}\rightarrow N_2$
$Y = N_1-\sum {X_i}$
Таким образом можно найти коэффициент $c$ при $X_i$, при котором будет соблюдаться соотношение
$Y\leftarrow N_1+c\sum {X_i}$
Т.е. случайная величина $Y$, распределенная равномерно, может быть представлена суммой случайных величин, каждая из которых распределена нормально.

[mihaild]

upgrade в сообщении #1136379 писал(а):

$\sum {X_i}\rightarrow N_2$

Сумма независимых нормально распределенных случайных величин (даже если поделить на корень из числа слагаемых - без этого вообще будет дисперсия стремиться к бесконечности) не обязана сходиться к какой-либо случайной величине. ЦПТ гарантирует только сходимость распределения.

И уточните, что вы хотите - представить равномерное распределение конечной суммой нормальных, или разложить в ряд? Требуется ли независимость слагаемых?

[upgrade]

mihaild в сообщении #1136381 писал(а):

Сумма независимых нормально распределенных случайных величин (даже если поделить на корень из числа слагаемых - без этого вообще будет дисперсия стремиться к бесконечности) не обязана сходиться к какой-либо случайной величине. ЦПТ гарантирует только сходимость распределения.

И уточните, что вы хотите - представить равномерное распределение конечной суммой нормальных, или разложить в ряд? Требуется ли независимость слагаемых?

А как это возможно, что сумма нормальных непрерывных случайных величин вообще никогда не является одной случайной величиной (неважно с каким распределением)?
Да, хочу представить равномерно распределенную случайную величину суммой нормальных (желательно независимых).

[Евгений Машеров]

Независимых - невозможно.

[upgrade]

Невозможно представить точно или невозможно представить вообще - нельзя находить независимые нормальные с.в., распределение суммы которых приближается к распределению равномерной с.в.?
Если так, то значит вот так нельзя делать:
$X+Y=Z$
$Y=Z-X$
вычет нормальной с.в. из случайной величины, которая является суммой этой нормальной с.в. и равномерной с.в., не равен равномерной с.в.?

[arseniiv]

Случайная величина $\chi$ не определяется до конца своим распределением. Им определяются только вероятности $\Prob(\chi\in A)$. Так что вы в общем случае не можете сказать ничего о распределении $X+Y$, если известны только распределения $X,Y$. Пример, думаю, приводить не надо.

[mihaild]

upgrade в сообщении #1136387 писал(а):

А как это возможно, что сумма нормальных непрерывных случайных величин вообще никогда не является одной случайной величиной (неважно с каким распределением)?

Конечная сумма случайных величин, конечно, является случайной величиной. Но чтобы последовательность случайных величин сходилась к случайной величине, недостаточно, чтобы их распределения сходились к распределению.
Пример: $P(x = 0) = P(x = 1) = \frac{1}{2}, y = 1 - x$ - последовательность $x, y, x, y, \ldots$ сходится по распределению (т.к. распределение вообще стационарно), но не сходится ни к какой случайной величине.

[Евгений Машеров]

Семиинвариант суммы независимых величин равен сумме семиинвариантов. А у нормальных семиинварианты третьего и выше порядка равны нулю.

[Евгений Машеров]

upgrade в сообщении #1136397 писал(а):

Невозможно представить точно или невозможно представить вообще - нельзя находить независимые нормальные с.в., распределение суммы которых приближается к распределению равномерной с.в.?
Если так, то значит вот так нельзя делать:
$X+Y=Z$
$Y=Z-X$
вычет нормальной с.в. из случайной величины, которая является суммой этой нормальной с.в. и равномерной с.в., не равен равномерной с.в.?

А независимость тут точно есть?

Вообще же придумать зависимые величины такие, чтобы их сумма приближалась бы к равномерной, возможно и удастся. Но зависимость будет, если получится, нелинейной и сильно хитровывернутой. Для линейно зависимых нормально распределённых случайных величин действует то же самое - получить ненулевые семиинварианты, складывая нули с нулями, не получится.
А вот, скажем, изобрести такие величины, чтобы каждая по отдельности имела бы нормальное распределение, а их сумма обладала бы свойствами, которые есть у равномерного, но не у нормального, ну, скажем, сосредоточенностью на отрезке - просто.
Одна стандартная нормальная величина, а вторая равна ей, если первая по абсолютной величине не превышает единицы, в противном случае противоположна. И тогда их сумма лежит между -1 и 1. Правда, это ещё не равномерная, "горбик", а в точке 0 "пупырышек". Но, наверно, можно и равномерную сделать. Только понадобится нетривиальная зависимость.

[upgrade]

Вопрос вырос из случайно получившегося графика при тестировании некоторых вычислений вероятностей.
Есть пять нормальных величин (суммы случайных равномерно распределенных - функция эксел: ячейка=K * СУММ(СЛЧИС();СЛЧИС();...)).
Если коэффициенты K разные и суммы сложить, на графике вместо нормального распределения получаются горизонтальные полосы. При этом график распределения для каждой суммы в отдельности нормальный...
Манипуляции с коэффициентами меняют количество полос. Если коэффициент везде 1, то получается нормальное распределение как и положено, если после коэффициента не умножить а плюс - тоже как и положено получается нормальное распределение. Получить одну полосу, что соответствует равномерному распределению пока не удалось.
П.С.
Понятно, что полосы могут получаться только из-за того, что ряд данных маловат

[Otta]

Сумма конечного числа нормальных случайных величин всегда нормальна (возможно, вырожденна), и у зависимых с.в. в том числе.

[arseniiv]

upgrade
Вы гистограмму там строите или чего? Это не самоочевидно.

Otta
СЛЧИС же равномерное. Можно получить там нормальное обратным преобразованием с помощью НОРМОБР/НОРМСТОБР (прямой генерации что-то не нашёл, а вроде была…). Видимо, upgrade проверял, насколько близко сложением равномерных можно получить нормальную (старинные руководства, не знающие других способов, советуют складывать шесть равномерных, но вы и сами, наверно, видели).

-- Пт июл 08, 2016 22:01:11 --

Попробовал построить гистограмму в экселе — чего-то не помню как. Разве это вообще там возможно было (без программирования)?

[upgrade]

Ну, в тестах делаю без готовых функций
Для получения нормального складывается штук 20 округленных до целого слчис, а затем счётесли среди сумм ищутся частоты этих сумм. Точки : горизонт - сумма, вертикаль - сколько раз встретилась в ряде сумм. Получается нормальное из первичных данных.
Затем работаем с рядами сумм - умножаем возводим и т.п., оценивая графики. Желательно подогнать операции и коэффициенты так, чтобы графики распределения искомой с.в. совпали с графиком этих манипуляций.
Если совпадение хорошее, то берем эти коэф ты и готовые наработки попроще для нормального распределения и очень просто обосновываем выводы по вероятностям, ну и дальше все просто. А если график не описывается ничем стандартным, то все печально и грустно, ибо учиться мало кто хочет.

-- 08.07.2016, 20:39 --

Т.е. понятно, что в силу ЦПТ любая комбинация с.в. стремится к нормальному. Но может в процессе стремления она где то принимает форму равномерного или близкого к нему.

[Otta]

arseniiv в сообщении #1136596 писал(а):

СЛЧИС же равномерное.

Ниче не знаю, я отвечала на исходный вопрос.
Про остальное - автор еще не придумал вопроса, когда придумает, тогда и можно будет о чем-то говорить.

[arseniiv]

Otta в сообщении #1136621 писал(а):

Ниче не знаю, я отвечала на исходный вопрос.

А, понятно.

upgrade в сообщении #1136608 писал(а):

Затем работаем с рядами сумм - умножаем возводим и т.п., оценивая графики.

Так у вас всего 21 сумма получится — тут что-то существенно нелинейное, разумеется, такой оторванный от реальности график даст (кстати, покажите его уже — я телепатию использовать в этой теме на этом посте заканчиваю), что ничего удивительного. Так что

(плохой и не такой плохой советы)

Используйте лучше НОРМОБР(СЛЧИС(); μ, σ) или НОРМСТОБР(СЛЧИС()) и накопируйте этого много десятков тысяч, чтобы можно было интервалы на гистограмме сделать поменьше. А гистограмму правильно считайте — по вхождениям в последовательные интервалы. Для этого есть функция СЧЁТЕСЛИМН.

На самом деле просто используйте функцию распределения, она там тоже есть. Так можно будет сделать сколь угодно мелкую «гистограмму» (это уже не гистограмма, а просто куча настоящих вероятностей попадания случайной величины в интервалы).

если вы пробуете только суммы, не нужны никакие манипуляции благодаря ответу Otta.

-- Сб июл 09, 2016 00:08:36 --

Ну ладно, ещё немного телепатии.

upgrade в сообщении #1136608 писал(а):

умножаем возводим и т.п.

Так это вы вообще пытаетесь определять по преобразованиям гистограммы нормально распределённой величины то, какими будут функции от этой величины? А зачем? Используйте метод обратного преобразования в обратную сторону. Выше упомянута $F$ такая, что если $A\sim U[0;1]$, то $F(A) = B\sim N(0,1)$, ну так и обратите эту $F$ и берите от $B$, получая равномерно распределённую $A$. $F^{-1}$ — как раз упоминаемый мной выше интеграл Лапласа.