2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Простые числа с квадратной разностью
Сообщение06.07.2016, 17:30 
Аватара пользователя
Какое наибольшее количество простых чисел можно выбрать так, чтобы разность любых двух из них была квадратом натурального числа?

 
 
 
 Re: Простые числа с квадратной разностью
Сообщение07.07.2016, 06:12 
Аватара пользователя
Можно $4$ точно, а, можно ли больше, - не знаю.

(пример и способ нахождения)

(это трудно назвать решением) Запишем наши $4$ простых числа как $p, p+a^2, p+a^2+b^2, p+a^2+b^2+c^2$ (это возможно, так как для любых трех чисел разности должны образовывать Пифагорову тройку). Тогда должно быть:$$\begin{cases}
a^2+b^2=x^2\\
b^2+c^2=y^2\\
a^2+b^2+c^2=z^2
\end{cases}$$что очень похоже на почти рациональный кубоид с решением $a=672, b=104, c=153$. Дальше я перебрал несколько относительно небольших простых чисел и получил для $a,b,c$ как выше (умноженных на $2$) пример подходящей четверки для $p=151$:$$151+4\cdot\{0,672^2,672^2+104^2,672^2+104^2+153^2\}=\{151,1806487,1849751,1943387\}$$
Что касается возможности найти $5$ или более таких чисел, - задача кажется почище (нерешенного) рационального кубоида...

 
 
 [ Сообщений: 2 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group