Окрестности в метрическом пространстве

[demolishka]

Пусть $(X,\rho)$ --- метрическое пространство, а $F$ и $U$ --- его подмножества, такие что $F$ --- замкнуто, $U$ --- открыто и $F \subset U$. Верно ли, что найдется открытое подмножество $B$, такое, что $F \subset B \subset \overline{B} \subset U$?

Для компактных пространств можно рассмотреть $\varepsilon$-окрестности $\mathcal{O}_{\varepsilon}(F)$ и показать, что при достаточно малых $\varepsilon$ будет выполнятся включение $F \subset \mathcal{O}_{\varepsilon}(F) \subset U$.
Для не компактных, насколько я понимаю, этот трюк не работает.

[Brukvalub]

Может, так: метрическое пространство нормально, в нормальных пространствах работает лемма Урысона о непрерывной функции...

[demolishka]

Все оказалось проще. Применим нормальность к $F$ и $X \setminus U$, окрестность из нормальности для $F$ будет искомой.
На самом деле это свойство равносильно нормальности (тут я вспомнил соответствующую задачу из Колмогорова-Фомина в главе про отделимость, которую не решил два года назад).

[Someone]

$$B=\{x\in X:\rho(x,F)<\rho(x,X\setminus U)\}$$

[Geen]

А если взять дискретную метрику?...

[Someone]

Geen в сообщении #1136136 писал(а):

А если взять дискретную метрику?...

А в чём проблема с дискретной метрикой?

P.S. Я предполагаю, что в первом сообщении символ $\subset$ означает нестрогое включение. Со строгим включением проблемы будут и без метрики.

[Anton_Peplov]

Geen в сообщении #1136136 писал(а):

А если взять дискретную метрику?...

Тогда достаточно положить, что $B = F$, знаете ли:)