Преобразование Лапласа как степень

[alisa-lebovski]

Хотелось бы найти такие функции $f(x)$, что $f(0)=0$, $f(x)\ge 0$, и

$$\frac{\ln \int_0^\infty e^{-\lambda x}df(x)}{\ln f(1/\lambda)}\to A,\quad \lambda\to\infty, $$

где $0<A<1$. При $f(x)=x^\alpha$ получается $A=1$, при $f(x)=\exp\{-x^{-\alpha}\}$ получается $A=0$. Надо что-то промежуточное.

[Munin]

А вы пробовали логарифмы?

-- 05.07.2016 13:51:13 --

P. S.

(Оффтоп)

Я думал, это откуда-то из Литлвуда, а оказывается, вот:

http://ru-xkcd.livejournal.com/44177.html
http://xkcd.com/451/

[alisa-lebovski]

Кстати, логарифмы. Подумала о $f(x)=\exp\{-(-\ln x)^\alpha\}$, $\alpha>1$, $x\le 1,$ но не смогла получить асимптотику преобразования Лапласа.

[Munin]

(Оффтоп)

Имхо, если вместо композиции функций использовать умножение, то вычислять станет проще...
(Ну вы поняли, I'm an impostor...)

[Vince Diesel]

alisa-lebovski в сообщении #1135915 писал(а):

Кстати, логарифмы. Подумала о $f(x)=\exp\{-(-\ln x)^\alpha\}$, $\alpha>1$, $x\le 1,$ но не смогла получить асимптотику преобразования Лапласа.

Для $\alpha=2$ у меня получилось $A=1$. Для других $\alpha$, вероятно, то же самое.