dzeta(-2)

[MestnyBomzh]

Как я прочитал на Википедии дзета-функция от нечетных отрицательных чисел равна нулю. Напрмиер, $\zeta(-2)=0$. Можете объяснить почему это правда?
С методами обобщенного суммирования знаком.

[ex-math]

Потому что есть такая штука, как функциональное уравнение дзета-функции. Этот факт следует из него и свойств гамма-функции (наличия у нее полюсов в нуле и отрицательных целых точках).

-- 04.07.2016, 14:56 --

Обобщенное суммирование тут ни при чем. Про ряд, задающий дзету правее единичной прямой, вне этой области лучше забыть.

[MestnyBomzh]

ex-math
Про ряд, правее единичной прямой и так всё ясно. Меня интересует левее единичной прямой. Например, в университете мне рассказывали почему $\zeta(-1) = -\frac{1}{12}$, и объяснялось это с помощью различных манипуляций с другими расходящимися рядами. Можно ли как-то аналогичным способом вывести $\zeta(-2)=0$?

[whitefox]

А ещё Википедия содержит следующий текст:

Википедия писал(а):

Дзета-функция при $s\neq 0,s\neq 1$ удовлетворяет уравнению:

$$\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s),$$

где $\Gamma (z)$ — гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана.

Попробуйте подставить вместо $s$ чётное отрицательное число, например $-2.$

[MestnyBomzh]

Да, вижу, ноль. Любопытно, что формула не работает для натуральных $s$, так как Гамма функция не существует
Но хотелось бы какой-то более простой и наглядный вывод (как с рядом $1+2+3+4+...$). Такого нет?

[Someone]

MestnyBomzh в сообщении #1135693 писал(а):

Но хотелось бы какой-то более простой и наглядный вывод (как с рядом $1+2+3+4+...$).

Не вижу ничего "простого и наглядного" в манипуляциях с расходящимися рядами. Просто потому, что разные манипуляции запросто могут привести к разным результатам, и совершенно не ясно, почему в этом случае одни манипуляции предпочтительнее других.

[MestnyBomzh]

Someone
Доказательство $1+2+3+..=-\frac{1}{12}$ доступна даже школьнику, я полагаю. В отличие от вывода функционального уравнения Римана. Это я имел в виду

[whitefox]

MestnyBomzh в сообщении #1135693 писал(а):

формула не работает для натуральных $s$, так как Гамма функция не существует

Отнюдь, полюс гамма-функции гасится нулём из другой части формулы. Потому и сказано:

Википедия писал(а):

Дзета-функция при $s\neq 0,s\neq 1$ удовлетворяет уравнению

[Brukvalub]

MestnyBomzh в сообщении #1135644 писал(а):

Как я прочитал на Википедии дзета-функция от нечетных отрицательных чисел равна нулю. Напрмиер, $\zeta(-2)=0$.

Вы уверены, что $-2$ - нечетное отрицательное число?

[Someone]

MestnyBomzh в сообщении #1135702 писал(а):

Someone
Доказательство $1+2+3+..=-\frac{1}{12}$ доступна даже школьнику, я полагаю. В отличие от вывода функционального уравнения Римана. Это я имел в виду

Это не доказательство. В отличие от…
Суммирование расходящихся рядов — штука достаточно произвольная. Кто-то подобрал такой способ, который даёт $-\frac 1{12}$. Кто-нибудь другой придумает не менее убедительный способ получить другой результат.

[MestnyBomzh]

whitefox в сообщении #1135703 писал(а):

Отнюдь, полюс гамма-функции гасится нулём из другой части формулы. Потому и сказано:

Если он гасится, то подставив $s=2$ получим ноль, но ведь дзета функция от двух не равна нулю...

Brukvalub в сообщении #1135704 писал(а):

Вы уверены, что $-2$ - нечетное отрицательное число?

В отрицательности не сомневаюсь. Насчёт нечетности сомневаюсь, конечно

Someone в сообщении #1135707 писал(а):

Это не доказательство. В отличие от…
Суммирование расходящихся рядов — штука достаточно произвольная. Кто-то подобрал такой способ, который даёт $-\frac 1{12}$. Кто-нибудь другой придумает не менее убедительный способ получить другой результат.

Но это доказательство же строгое (или нет?), так что другие способы просто не могут привести к другому результату

[whitefox]

MestnyBomzh в сообщении #1135709 писал(а):

то подставив $s=2$ получим ноль

Покажите как?

[Someone]

MestnyBomzh в сообщении #1135709 писал(а):

Но это доказательство же строгое (или нет?), так что другие способы просто не могут привести к другому результату

Рассматривается метод суммирования Рамануджана и доказывается (вполне строго), что этот метод в применении к данному ряду даёт $-\frac 1{12}$. Так что метод Рамануджана другого результата дать не может.
Но нет доказательства того, что другой метод суммирования не может дать другое число.

-- Пн июл 04, 2016 18:45:28 --

Кстати, а какое именно "доказательство" Вы имеете в виду?

[MestnyBomzh]

whitefox в сообщении #1135710 писал(а):

:shock: Покажите как?

Ааа, я подумал, что синус равен нулю, вот и всё. А там еще предел брать, да?

Someone в сообщении #1135717 писал(а):

Кстати, а какое именно "доказательство" Вы имеете в виду?

Сначала рассматривается ряд $S_1 = 1-1+1-1+1...$. Так как $S_1 = 1 - (1-1+1-1+1...) = 1 - S_1 \Rightarrow S_1 = \frac{1}{2}$
Потом рассматривается ряд $S_2 = 1-2+3-4...$. Дабы найти его сумму к нему прибавляют его же, то есть $S_2+S_2$. Складывая определенным образом слагаемые получаем, что $S_2+S_2 = S_1 \Rightarrow S_2 = \frac{1}{4}$.
Ну и потом уже рассматривается наш ряд: $S_3 = 1+2+3+4+..$. Оказывается, что $S_3 - S_2 = 4S_3$. Ну и отсюда $S_3 = \frac{-1}{12}$.
Я имел в виду этот метод, доступный даже школьнику

[Brukvalub]

MestnyBomzh в сообщении #1135807 писал(а):

Сначала рассматривается ряд $S_1 = 1-1+1-1+1...$. Так как $S_1 = 1 - (1-1+1-1+1...) = 1 - S_1 \Rightarrow S_1 = \frac{1}{2}$

Тогда уж $\frac{0}{0}=\pi$ , ведь проверка умножением результат подтверждает!